Załóżmy, że zmienna losowa ma dolną i górną granicę [0,1]. Jak obliczyć wariancję takiej zmiennej?
Załóżmy, że zmienna losowa ma dolną i górną granicę [0,1]. Jak obliczyć wariancję takiej zmiennej?
Odpowiedzi:
Możesz udowodnić nierówność Popoviciu w następujący sposób. Za pomocą notacji i . Zdefiniuj funkcję pomocą
Obliczając pochodną i rozwiązując
stwierdzamy, że osiąga minimum przy ( zauważ, że ).
Teraz rozważ wartość funkcji w punkcie specjalnym . Musi być tak, że
Ale
Od i mamy
co oznacza, że
Niech będzie rozkładem na . Pokażemy, że jeśli wariancja jest maksymalna, wówczas może nie mieć żadnego wsparcia we wnętrzu, z czego wynika, że to Bernoulli, a reszta jest trywialna.[ 0 , 1 ] F F F
W ramach notacji niech będzie tym nieprzetworzonym momentem (i, jak zwykle, piszemy i dla wariancji).k F μ = μ 1 σ 2 = μ 2 - μ 2
Wiemy, że nie ma pełnego wsparcia w jednym punkcie ( w tym przypadku wariancja jest minimalna ). Oznacza to między innymi, że leży dokładnie między a . Aby argumentować sprzecznością, załóżmy, że istnieje jakiś mierzalny podzbiór we wnętrzu dla którego . Bez utraty ogólności możemy założyć (zmieniając na jeśli to konieczne), że : innymi słowy, uzyskuje się przez odcięcie dowolnego część powyżej średniej iμ 0 1 I ( 0 , 1 ) F ( I ) > 0 X 1 - X F ( J = I ∩ ( 0 , μ ] ) > 0 J I J ma dodatnie prawdopodobieństwo.
Zmieńmy na , biorąc całe prawdopodobieństwo z i ustawiając je na . F ′ J 0 W ten sposób zmienia się na
W ramach zapisu dla takich całek, skąd
Obliczać
Drugi składnik po prawej stronie , nie jest negatywny, ponieważ wszędzie . Pierwszy termin po prawej stronie można przepisaćμ ≥ x J
Pierwszy wyraz po prawej stronie jest ściśle dodatni, ponieważ (a) i (b) ponieważ zakładamy, że nie jest skoncentrowany w jednym punkcie. Drugi termin jest nieujemny, ponieważ można go przepisać jako a ten integrand jest nieujemny z założeń na i . Wynika z tego, że .[ 1 ] = F ( J ) < 1 F [ ( μ - x ) ( x ) ] μ ≥ x J 0 ≤ x ≤ 1 σ ′ 2 - σ 2 > 0
Właśnie pokazaliśmy, że zgodnie z naszymi założeniami zmiana na ściśle zwiększa jego wariancję. Jedynym sposobem, w jaki to nie może się zdarzyć, jest wówczas, gdy całe prawdopodobieństwo jest skoncentrowane w punktach końcowych i , przy (powiedzmy) wartościach odpowiednio i . Jego wariancję można łatwo obliczyć jako równą która jest maksymalna, gdy i wynosi tam .F ' F ' 0 1 1 - P P P ( 1 - p ) p = 1 / 2 1 / 4
Teraz, gdy jest rozkładem na , recentrujemy i przeskalowujemy go do rozkładu na . Ponowne wyśrodkowanie nie zmienia wariancji, natomiast przeskalowanie dzieli ją przez . Zatem z maksymalną wariancją na odpowiada rozkładowi z maksymalną wariancją na : dlatego jest to rozkład Bernoulliego przeskalowany i przetłumaczony na mający wariancję 2/4 , QED .[ , b ] [ 0 , 1 ], ( b - ) 2 F [ , b ] [ 0 , 1 ] ( 1 / 2 ) [ , b ] ( b - ) 2 / 4
Jeśli zmienna losowa jest ograniczona do i znamy średnią , wariancja jest ograniczona przez .μ = E [ X ] ( b - μ ) ( μ - a )
Rozważmy najpierw przypadek . Zauważ, że dla wszystkich , , dlatego też . Korzystając z tego wyniku, x ∈ [ 0 , 1 ] x 2 ≤ x E [ X 2 ] ≤ E [ X ] σ 2 = E [ X 2 ] - ( E [ X ] 2 ) = E [ X 2 ] - μ 2 ≤ μ - μ 2 = μ (
Aby uogólnić na przedziały pomocą , rozważ ograniczone do . Zdefiniuj , który jest ograniczony w . Równolegle , a zatem gdzie nierówność jest oparta na pierwszym wyniku. Teraz, podstawiając , granica jest równa który jest pożądanym wynikiem.b > a Y [ a , b ] X = Y - a [0,1]Y=(b-a)X+aVar[Y]=(b-a)2Var[X]≤(b-a)2μX(1-μX). μX=μY-a
Na żądanie @ user603 ....
Przydatną górną granicą wariancji zmiennej losowej, która przyjmuje wartości w z prawdopodobieństwem jest . Dowód na specjalny przypadek (o co poprosił PO) można znaleźć tutaj na stronie matematycznej. Można go łatwo dostosować do bardziej ogólnego przypadku. Jak zauważono w moim komentarz powyżej, a także w odpowiedzi podane w niniejszym dokumencie, dyskretną zmienną losową, która przyjmuje wartości i z równym prawdopodobieństwem jest wariancja a zatem nie można znaleźć ściślejszej ogólnej granicy.
Inną kwestią, o której należy pamiętać, jest to, że zmienna losowa ograniczona ma wariancję skończoną, podczas gdy w przypadku nieograniczonej zmiennej losowej wariancja może nie być skończona, aw niektórych przypadkach nawet niemożliwa do zdefiniowania. Na przykład, średniej nie można zdefiniować dla zmiennych losowych Cauchy'ego , a więc nie można zdefiniować wariancji (jako oczekiwania kwadratowego odchylenia od średniej).
czy jesteś pewien, że ogólnie tak jest - zarówno w przypadku dystrybucji ciągłej, jak i dyskretnej? Czy możesz podać link do innych stron? Dla ogólnego rozróżnienia na banalne jest wykazanie, że Mogę sobie wyobrazić, że istnieją ostrzejsze nierówności ... Czy potrzebujesz współczynnika dla swojego wyniku?V a r ( X ) = E [ ( X - E [ X ] ) 2 ] ≤ E [ ( b - a ) 2 ] = ( b - a ) 2 . 1 / 4
Z drugiej strony można go znaleźć ze współczynnikiem pod nazwą Popoviciu's_inequality na wikipedii.
Ten artykuł wygląda lepiej niż artykuł w Wikipedii ...
Dla jednolitego rozkładu utrzymuje, że