uwarunkowane sumą, jaki jest rozkład ujemnych dwumianów

Jeśli są iid ujemny dwumianowy, to co jest dystrybucja podana$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$ ?

$N$ jest ustalony.

Jeśli są to zależnie od sumy jest wielomianowe. Nie jestem pewien, czy jest to prawdą w przypadku ujemnego dwumianu, ponieważ jest to mieszanina Poissona.$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

Jeśli chcesz wiedzieć, nie jest to zadanie domowe.

Przepraszam za spóźnioną odpowiedź, ale to mnie też wkurzyło i znalazłem odpowiedź. Rozkład jest rzeczywiście wielomianowy Dirichleta i indywidualny neg. rozkłady dwumianowe nawet nie muszą być identyczne, o ile ich współczynnik Fano (stosunek wariancji do średniej) jest identyczny.

Długa odpowiedź:

Jeśli sparametryzujesz NB jako:

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

Następnie i i$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ implikuje

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

Następnie przyjmując prawdopodobieństwo na podstawie sumy:

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

gdzie jest prawdopodobieństwem wielomianowym Dirichleta. Wynika to po prostu z faktu, że oprócz współczynników wielomianowych, wiele terminów ułamka po lewej stronie anuluje się, pozostawiając tylko te funkcje funkcji gamma, które są takie same jak w przypadku prawdopodobieństwa DM.$DM$

Należy również zauważyć, że parametrów tego modelu nie można zidentyfikować jako wzrostu przy jednoczesnym spadku wszystkich skutkuje dokładnie takim samym prawdopodobieństwem.$\theta$$\lambda_i$

Najlepsze odniesienia, jakie mam w tym zakresie, to sekcje od 2 do 3.1 Guimarães i Lindrooth (2007): Kontrolowanie nadmiernej dyspersji w zgrupowanych modelach logitów warunkowych: Prosta w obliczeniach aplikacja regresji wielomianowej Dirichleta - jest niestety opłacona, ale nie byłem w stanie znajdź odniesienie nieopłacone.