Górne granice gęstości kopuły?

Fréchet-Hoeffding górna granica odnosi się do funkcji rozkładu kopułą i jest przekazywana przez

C (u_{1}, . . ., u_{d}) \leq min {u_{1}, . ., u_{d}} .

$C(u_1,...,u_d)\leq \min\{u_1,..,u_d\}.$

Czy istnieje podobna (w tym sensie, że zależy to od gęstości krańcowej) górna granica gęstości kopuły $c(u_1,...,u_d)$ zamiast CDF?

Wszelkie odniesienia będą mile widziane.

— Coppola
źródło

Jakiego rodzaju powiązania szukasz? Opis rzeczywistego problemu może pomóc. Technicznie odpowiedź brzmi „nie” na dwa różne sposoby: (i) może nie istnieć gęstość (!) I (b) gdyby tak było, moglibyśmy ją zmienić na zbiorze miary zero tak dużym, jak my ” d jak. Ale coś wiemy . W szczególności załóżmy, że

c

$c$ istnieje i niech

R = [a_{1}, b_{1}] \times \dots \times [a_{n}, b_{n}] \subset [0, 1]^{d}

$R = [a_1,b_1] \times \dots \times [a_n,b_n] \subset \mathbb [0,1]^d$ będzie dowolnym (hiper) prostokątem o długości boków

w_{i} = b_{i} - a_{i}

$w_i = b_i - a_i$ . Zatem z pewnością

{e s s i n f}_{x \in R} c (x) \leq (min_{i} w_{i}) / \prod_{i} w_{i} .

$\mathrm{ess\,inf}_{x \in R} \,c(x) \leq (\min_i w_i) / \prod_i w_i \>.$

— kardynał

Ponieważ możesz łatwo konstruować przykłady spełniające tę granicę, podejrzewam, że nie ma zbyt wiele więcej do powiedzenia. Ale nie myślałem o tym ostrożnie.

— kardynał

@cardinal Dziękujemy za komentarze. Rzeczywiście, zakładam, że gęstość istnieje, aby uniknąć trywialnego przypadku. Szukałem górnej granicy pod względem krańcowej gęstości. Szczególnie interesuje mnie kopuła Gaussa.

— Coppola

Jeśli jest to kopula, wszystkie krańcowe gęstości są jednolite, tj. Stała funkcja. :)

— kardynał

@ kardynał Pardon mój francuski. Pozwól mi sformułować moje pytanie. Kopułę gaussowską (którą szczególnie mnie interesuje) podaje . Gdzie i . To na przykład nie może być ograniczone przez produkt . Tak więc szukałem innej górnej granicy, która dotyczy tylko marginesów. I oczywiście starałem się zadać pytanie w bardziej ogólny sposób, odnosząc je do wyżej wymienionych granic. Przepraszam za moje niejasne słowa.

s (x_{1}, . . ., x_{d}; R) = \frac{1}{det (R)^{1 / 2}} \exp (- 0.5 u^{T} (R^{- 1} - I) u) \prod_{j = 1}^{d} f_{j} (x_{j})

$s(x_1,...,x_d;R)=\dfrac{1}{\mbox{det}(R)^{1/2}}\exp(-0.5 u^T(R^{-1}-I)u) \prod_{j=1}^d f_j(x_j)$

u = (u_{1}, . . ., u_{d})

$u=(u_1,...,u_d)$

u_{j} = Φ^{- 1} (F_{j} (x_{j}))

$u_j=\Phi^{-1}(F_j(x_j))$

\prod_{j = 1}^{n} f_{j} (x_{j})

$\prod_{j=1}^n f_j(x_j)$

— Coppola

Ogólnie rzecz biorąc, nie, nie ma. Na przykład w dwuwymiarowym przypadku kopuły gaussowskiej ilość w wykładniku ma punkt siodłowy (0,0), a zatem eksploduje do nieskończoności w dwóch kierunkach. Jeśli natkniesz się na klasę gęstości kopuły, która jest faktycznie ograniczona, daj mi znać!

— MHankin
źródło

Czy możesz wyjaśnić, co rozumiesz przez „ilość w wykładniku”? Obecność „punktu siodłowego” nie wydaje się spójna z żadną standardową definicją rozkładu Gaussa.

— whuber

@whuber Gęstość kopuły gaussowskiej nie jest standardowym gaussowskim. Jeśli spojrzysz na powyższy komentarz coppoli, zauważysz, że gęstość kopuły gaussowskiej ma gdzie można się spodziewać tylko odwrotnej macierzy kowariancji. Macierz odwrotnej kowariancji powinna być symetryczna dodatnio półokreślona, ale -I pozwala na niedokładność dodatnią, a zatem punkt siodłowy. Jego obecność wynika ze zmiany zmiennych podczas konwersji z na

R^{- 1} - I

$R^{-1}-I$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

[0, 1]^{n}

$[0,1]^n$

— MHankin

Tak, jestem tego świadomy - ale nie na tym polega twoja odpowiedź. Kopuła ta jest parametryzowana przez macierz korelacji , ale dla każdego takiego jest to funkcja tylko . Jako taki nigdy nie „eksploduje w nieskończoność”. Nie ma prawidłowych macierzy korelacji (to znaczy tych niedegenerowanych), dla których ta kopuła jest nieograniczona. Oto powody, dla których prosiłem o wyjaśnienie twojej odpowiedzi.

R

$R$

R

$R$

x_{i}

$x_i$

R

$R$

— whuber

@ whuber Właśnie przesłałem Ci e-mailem edytowalną wersję bardziej szczegółowego zapisu mojego przykładu. Daj mi znać, jeśli uważasz, że wygląda to poprawnie, w takim przypadku dodam go do mojej powyższej odpowiedzi. [read_only_version] { overleaf.com/read/bkyjjtmmmnpb }

— MHankin