Czy zmienne losowe są skorelowane tylko wtedy, gdy ich szeregi są skorelowane?

Załóżmy że są ciągłymi zmiennymi losowymi ze skończonymi sekundami. wersję współczynnika korelacji rang Spearmana można zdefiniować jako współczynnik iloczynu iloczynu Pearsona ρ całek prawdopodobieństwa przekształca F_X (X) i F_Y (Y) , gdzie F_X, F_Y są cdf dla X i Y , tj.ρ s F X ( X ) F Y ( Y ) F X , F Y X $X,Y$$ρ_s$$F_X(X)$$F_Y(Y)$$F_X,F_Y$$X$$Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ .

Zastanawiam się, czy ogólnie można to wywnioskować

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ?

Tj. Czy mamy korelację liniową wtedy i tylko wtedy, gdy mamy korelację liniową między szeregami?

Aktualizacja: W komentarzach podano dwa przykłady, dlaczego

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

nie jest ogólnie prawdą, nawet jeśli $X$ i $Y$ mają taki sam rozkład. Pytanie powinno zostać przeformułowane jako

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

Interesuje mnie również, czy to prawda / fałsz, jeśli $X$ i $Y$ mają ten sam rozkład.

(Uwaga: Jeśli $X$ i $Y$ są dodatnio zależne od kwadrantu, tj. $δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$ to formuła kowariancji Hoeffdinga $Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$ daje, że $ρ(X,Y)>0$ i $ρ(F(X),F(Y))>0$ )

Żadna z korelacji równa zero niekoniecznie mówi wiele o drugiej, ponieważ „ważą” one dane - zwłaszcza dane ekstremalne - zupełnie inaczej. Mam zamiar pobawić się próbkami, ale podobne przykłady można skonstruować z dwuwymiarowymi rozkładami / kopulami.

1. Korelacja Spearmana 0 nie implikuje korelacji Pearsona 0 :

Jak wspomniano w pytaniu, w komentarzach znajdują się przykłady, ale podstawowa struktura to „skonstruuj przypadek, w którym korelacja Spearmana wynosi 0, a następnie weź skrajny punkt i uczyń go bardziej ekstremalnym bez zmiany korelacji Spearmana”

Przykłady w komentarzach obejmują to bardzo dobrze, ale zamierzam tutaj grać bardziej „losowym” przykładem. Rozważmy więc te dane (w R), które z założenia mają korelację Spearmana i Pearsona 0:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

Teraz dodaj 1000 do y [12] i odejmij 0,6 od x [9]; korelacja Spearmana pozostaje niezmieniona, ale korelacja Pearsona wynosi obecnie 0,1841:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Jeśli chcesz mieć duże znaczenie dla tej korelacji Pearsona, po prostu powtórz całą próbę kilka razy.)

2. Korelacja Pearsona 0 nie implikuje korelacji Spearmana 0 :

Oto dwa przykłady z zerową korelacją Pearsona, ale niezerową korelacją Spearmana (i ponownie, jeśli chcesz mieć duże znaczenie w tych korelacjach Spearmana, po prostu powtórz całą próbkę kilka razy).

Przykład 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

Przykład 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

W tym ostatnim przykładzie korelację Spearmana można wzmocnić, dodając więcej punktów na y = x, jednocześnie czyniąc dwa punkty w lewym górnym i prawym dolnym rogu bardziej ekstremalnymi, aby utrzymać korelację Pearsona na 0.