Zasadniczo nie można interpretować współczynników z wyniku regresji probitowej (przynajmniej w żaden standardowy sposób). Musisz zinterpretować marginalne skutki regresorów, to znaczy, o ile (warunkowe) prawdopodobieństwo zmiennej wyniku zmienia się po zmianie wartości regresora, utrzymując wszystkie inne regresory na stałym poziomie przy niektórych wartościach. Różni się to od przypadku regresji liniowej, w którym bezpośrednio interpretujesz oszacowane współczynniki. Jest tak, ponieważ w przypadku regresji liniowej współczynniki regresji są efektami marginalnymi .
W regresji probit wymagany jest dodatkowy etap obliczeń, aby uzyskać efekty krańcowe po obliczeniu dopasowania regresji probit.
Modele regresji liniowej i probitowej
Regresja probitowa: przypomnij sobie, że w modelu probitowym modelujesz (warunkowe) prawdopodobieństwo „pomyślnego” wyniku, to znaczy ,
gdzie to funkcja skumulowanego rozkładu standardowego rozkładu normalnego. Zasadniczo mówi to, że od regresorów prawdopodobieństwo, że zmienna wyniku, wynosi 1, jest pewną funkcją liniowej kombinacji regresorów.Yja= 1
P[Yi=1∣X1i,…,XKi;β0,…,βK]=Φ(β0+∑k=1KβkXki)
Φ(⋅)Yi
Regresja liniowa : porównaj to z modelem regresji liniowej, gdzie
E(Yi∣X1i,…,XKi;β0,…,βK)=β0+∑k=1KβkXki
(warunkową) średnią wyniku jest liniowa kombinacja regresorów.
Efekty marginalne
Inne niż w modelu regresji liniowej współczynniki rzadko mają bezpośrednią interpretację. Zazwyczaj interesują nas efekty ceteris paribus zmian w regresorach wpływających na cechy zmiennej wynikowej. Jest to pojęcie, które mierzą efekty marginalne.
- Regresja liniowa : Chciałbym teraz wiedzieć, o ile zmienia się średnia zmiennej wyniku, gdy poruszam jednym z regresorów
∂E(Yi∣X1i,…,XKi;β0,…,βK)∂Xki=βk
Ale jest to tylko współczynnik regresji, co oznacza, że marginalnym efektem zmiany regresora jest tylko współczynnik regresji.k
- Regresja probitowa: Łatwo jednak zauważyć, że nie dotyczy to regresji probitowej
∂P[Yi=1∣X1i,…,XKi;β0,…,βK]∂Xki=βkϕ(β0+∑k=1KβkXki)
co
nie jest tym samym co współczynnik regresji. Są to
efekty krańcowe dla modelu probit i ilość, której szukamy. W szczególności zależy to od wartości wszystkich innych regresorów i współczynników regresji. Tutaj to standardowa normalna funkcja gęstości prawdopodobieństwa.
ϕ(⋅)
Jak obliczyć tę ilość i jakie są opcje innych regresorów, które powinny wprowadzić tę formułę? Na szczęście Stata zapewnia to obliczenie po regresji probit i podaje pewne domyślne ustawienia innych regresorów (nie ma uniwersalnej zgody na te domyślne).
Dyskretne regresory
Zauważ, że wiele z powyższych dotyczy przypadku regresorów ciągłych, ponieważ zastosowaliśmy rachunek różniczkowy. W przypadku dyskretnych regresorów należy użyć dyskretnych zmian. SO, na przykład, dyskretna zmiana w regresorze która przyjmuje wartości toXki{0,1}
ΔXkiP[Yi=1∣X1i,…,XKi;β0,…,βK]=βkϕ(β0+∑l=1k−1βlXli+βk+∑l=k+1KβlXli)−βkϕ(β0+∑l=1k−1βlXli+∑l=k+1KβlXli)
Obliczanie efektów krańcowych w Stacie
Regresja probitowa: Oto przykład obliczenia efektów krańcowych po regresji probitowej w Stacie.
webuse union
probit union age grade not_smsa south##c.year
margins, dydx(*)
Oto wynik otrzymany z margins
polecenia
. margins, dydx(*)
Average marginal effects Number of obs = 26200
Model VCE : OIM
Expression : Pr(union), predict()
dy/dx w.r.t. : age grade not_smsa 1.south year
------------------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| dy/dx Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
age | .003442 .000844 4.08 0.000 .0017878 .0050963
grade | .0077673 .0010639 7.30 0.000 .0056822 .0098525
not_smsa | -.0375788 .0058753 -6.40 0.000 -.0490941 -.0260634
1.south | -.1054928 .0050851 -20.75 0.000 -.1154594 -.0955261
year | -.0017906 .0009195 -1.95 0.051 -.0035928 .0000115
------------------------------------------------------------------------------
Note: dy/dx for factor levels is the discrete change from the base level.
Można to zinterpretować na przykład, że zmiana jednej age
zmiennej w zmiennej zwiększa prawdopodobieństwo statusu unii o 0,003442. Podobnie będąc z południa, zmniejsza prawdopodobieństwo statusu związku o 0,1054928
Regresja liniowa : Jako ostateczną kontrolę możemy potwierdzić, że efekty krańcowe w modelu regresji liniowej są takie same jak współczynniki regresji (z jednym małym skrętem). Uruchomienie następującej regresji i obliczenie efektów krańcowych po
sysuse auto, clear
regress mpg weight c.weight#c.weight foreign
margins, dydx(*)
po prostu zwraca współczynniki regresji. Zwróć uwagę na interesujący fakt, że Stata oblicza krańcowy efekt regresora netto , w tym efekt za pomocą wyrażeń kwadratowych, jeśli jest uwzględniony w modelu.
. margins, dydx(*)
Average marginal effects Number of obs = 74
Model VCE : OLS
Expression : Linear prediction, predict()
dy/dx w.r.t. : weight foreign
------------------------------------------------------------------------------
| Delta-method
| dy/dx Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
weight | -.0069641 .0006314 -11.03 0.000 -.0082016 -.0057266
foreign | -2.2035 1.059246 -2.08 0.038 -4.279585 -.1274157
------------------------------------------------------------------------------