Var (X) jest znany, jak obliczyć Var (1 / X)?

Jeśli mam tylko , jak mogę obliczyć ? $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(\frac{1}{X})$

Nie mam żadnych informacji na temat dystrybucji $X$ , więc nie można użyć transformacji, albo jakiekolwiek inne metody, które wykorzystują rozkład prawdopodobieństwa $X$ .

distributions variance data-transformation

— SZCZUR
źródło

Myślę, że to może ci pomóc.

— Christoph_J,

To jest niemożliwe.

Rozważ sekwencję $X_n$ zmiennych losowych, gdzie

P (X_{n} = n - 1) = P (X_{n} = n + 1) = 0.5

$P(X_n=n-1)=P(X_n=n+1)=0.5$

Następnie:

V a r (X_{n}) = 1 for all n

$\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(X_n)=1 \quad \text{for all $n$}$

Ale zbliża się do zera, gdy przechodzi w nieskończoność: $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)$ $n$

V a r (\frac{1}{X_{n}}) = {(0.5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}))}^{2}

$\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\left(0.5\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\right)^2$

W tym przykładzie wykorzystano fakt, że jest niezmienny w tłumaczeniach , ale nie jest. $\Var(X)$ $X$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

Ale nawet jeśli przyjmiemy , nie możemy obliczyć : Niech $\mathrm{E}(X)=0$ $\Var\left(\frac{1}{X}\right)$

P (X_{n} = - 1) = P (X_{n} = 1) = 0.5 (1 - \frac{1}{n})

$P(X_n=-1)=P(X_n=1)=0.5\left(1-\frac{1}{n}\right)$

P (X_{n} = 0) = \frac{1}{n} for n > 0

$P(X_n=0)=\frac{1}{n} \quad \text{for $n>0$}$

Następnie zbliża się do 1, gdy idzie w nieskończoność, ale dla wszystkich . $\Var(X_n)$ $n$ $\Var\left(\frac{1}{X_n}\right)=\infty$ $n$

— mogron
źródło

Za pomocą serii Taylora można uzyskać przybliżenie momentów niskiego rzędu transformowanej zmiennej losowej. Jeśli rozkład jest dość „ciasny” wokół średniej (w pewnym sensie), przybliżenie może być całkiem dobre.

Na przykład

g (X) = g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots

$g(X) = g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots$

więc

\begin{array}{rcl} Var [g (X)] & = & Var [g (μ) + (X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & Var [(X - μ) g^{'} (μ) + \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ = & g^{'} (μ)^{2} Var [(X - μ)] + 2 g^{'} (μ) Cov [(X - μ), \frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \\ + Var [\frac{(X - μ)^{2}}{2} g^{″} (μ) + \dots] \end{array}

$\begin{eqnarray} \text{Var}[g(X)] &=& \text{Var}[g(\mu) + (X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& \text{Var}[(X-\mu) g'(\mu) + \frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ &=& g'(\mu)^2 \text{Var}[(X-\mu)] + 2g'(\mu)\text{Cov}[(X-\mu),\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots] \\& &\quad+ \text{Var}[\frac{(X-\mu)^2}{2} g''(\mu) + \ldots]\\ \end{eqnarray}$

często brany jest tylko pierwszy semestr

Var [g (X)] \approx g^{'} (μ)^{2} Var (X)

$\text{Var}[g(X)] \approx g'(\mu)^2 \text{Var}(X)$

W tym przypadku (zakładając, że się nie pomyliłem), z , . $g(X)=\frac{1}{X}$ $\text{Var}[\frac{1}{X}] \approx \frac{1}{\mu^4} \text{Var}(X)$

Wikipedia: Rozszerzenia Taylora dla momentów funkcji zmiennych losowych

---

Kilka przykładów ilustrujących to. Wygeneruję dwie (rozproszone w gamie) próbki w R, jedną z „niezbyt ciasnym” rozkładem względem średniej, a drugą nieco ściślejszą.

 a <- rgamma(1000,10,1)  # mean and variance 10; the mean is not many sds from 0
 var(a)
[1] 10.20819  # reasonably close to the population variance

Przybliżenie sugeruje, że wariancja powinna być bliska $1/a$ $(1/10)^4 \times 10 = 0.001$

 var(1/a)
[1] 0.00147171

Według obliczeń algebraicznych rzeczywista wariancja populacji wynosi $1/648 \approx 0.00154$

Teraz dla ciasniejszego:

 a <- rgamma(1000,100,10) # should have mean 10 and variance 1
 var(a)
[1] 1.069147

Przybliżenie sugeruje, że wariancja powinna być bliska $1/a$ $(1/10)^4 \times 1 = 0.0001$

 var(1/a)
[1] 0.0001122586

Obliczenia algebraiczne pokazują, że wariancja populacji odwrotności wynosi . $\frac{10^2}{99^2\times 98} \approx 0.000104$

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Należy zauważyć, że w tym przypadku dość słaba hipoteza prowadzi do wniosku, że nie będzie żadnej średniej (wariancji skąd) dla , tj. Że przybliżenie w odpowiedzi będzie raczej mylące. :-) Przykładową hipotezą jest to, że ma gęstość która jest ciągła w przedziale wokół zera i taka, że . Wynik jest następujący, ponieważ gęstość będzie ograniczana od zera w pewnym przedziale . Podana hipoteza nie jest oczywiście najsłabsza z możliwych.

1 / X

$1/X$

X

$X$

f

$f$

f (0) \neq 0

$f(0) \neq 0$

[- ϵ, ϵ]

$[-\epsilon,\epsilon]$

— kardynał

Przyczyną niepowodzenia argumentu Taylora jest to, że ukrywa termin reszty (błąd), który w tym przypadku to a to działa źle w przypadku .

\approx

$\approx$

R (x, μ) = \frac{(x + μ) (x - μ)^{2}}{x μ},

$R(x,\mu) = \frac{(x+\mu)(x-\mu)^2}{x\mu} \>,$

x = 0

$x = 0$

— kardynał

Rzeczywiście należy uważać na zachowanie gęstości w pobliżu 0. Zauważ, że w powyższych przykładach gamma rozkład odwrotności jest odwrotną gamma, dla której posiadanie skończonej średniej wymaga ( jest parametrem kształtu odwrócona gamma). Dwa przykłady miały i . Mimo to (z „ładnymi” rozkładami do odwracania) zaniedbanie wyższych terminów może wprowadzić zauważalne odchylenie.

α > 1

$\alpha>1$

α

$\alpha$

α = 10

$\alpha = 10$

α = 100

$\alpha = 100$

— Glen_b

wydaje się to we właściwym kierunku, odwrotnego przesunięcia rozkładu normalnego zamiast odwrotnego standardowego rozkładu normalnego: en.wikipedia.org/wiki/...

— Felipe G. Nievinski