Czy mogę interpretować włączenie kwadratowego terminu do regresji logistycznej jako wskazujący punkt zwrotny?

Czy w regresji logistycznej zawierającej tylko warunki liniowe i kwadratowe, jeśli mam współczynnik liniowy i współczynnik kwadratowy , czy mogę powiedzieć, że istnieje punkt zwrotny prawdopodobieństwa na ?β 2 - β 1 / ( 2 β 2$\beta_1$$\beta_2$$-\beta_1 / (2\beta_2)$

Tak, możesz.

Model jest

Gdy $\beta_2$ jest niezerowe, ma globalne ekstremum przy $x = -\beta_1 / (2\beta_2)$ .

Regresja logistyczna szacuje te współczynniki jako . Ponieważ jest to oszacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa (a oszacowania ML funkcji parametrów są tymi samymi funkcjami oszacowań), możemy oszacować lokalizację ekstremum na .$(b_0, b_1, b_2)$$-b_1/(2b_2)$

Interesujący byłby przedział ufności dla tego oszacowania. W przypadku zestawów danych, które są wystarczająco duże, aby zastosować asymptotyczną teorię maksymalnego prawdopodobieństwa, możemy znaleźć punkty końcowe tego przedziału, ponownie wyrażając w formie$\beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2$

i ustalenie, ile można zmieniać, zanim prawdopodobieństwo dziennika spadnie zbyt mocno. „Zbyt dużo” to asymptotycznie połowa kwantyla rozkładu chi-kwadrat z jednym stopniem swobody.$\gamma$$1-\alpha/2$

To podejście będzie działać dobrze, pod warunkiem, że zakresy pokrywają obie strony piku i istnieje wystarczająca liczba odpowiedzi i wśród wartości , aby wyznaczyć ten pik. W przeciwnym razie lokalizacja piku będzie wysoce niepewna, a asymptotyczne szacunki mogą być niewiarygodne.$x$$0$$1$$y$

Rkod do wykonania tego jest poniżej. Można go użyć w symulacji, aby sprawdzić, czy zakres przedziałów ufności jest zbliżony do zamierzonego zakresu. Zauważ, że prawdziwy pik wynosi i - patrząc na dolny rząd histogramów - w jaki sposób większość dolnych granic ufności jest mniejsza niż wartość rzeczywista, a większość górnych granic ufności jest większa niż wartość rzeczywista, jak chcielibyśmy. W tym przykładzie zamierzony zasięg wynosił a faktyczny zasięg (pomijając cztery z przypadków, w których regresja logistyczna nie była zbieżna) wynosił , co wskazuje, że metoda działa dobrze (dla rodzajów symulowanych danych tutaj).$-1/2$$1 - 2(0.05) = 0.90$$500$$0.91$

n <- 50            # Number of observations in each trial
beta <- c(-1,2,2)  # Coefficients
x <- seq(from=-3, to=3, length.out=n)
y0 <- cbind(rep(1,length(x)), x, x^2) %*% beta

# Conduct a simulation.
set.seed(17)
sim <- replicate(500, peak(x, rbinom(length(x), 1, logistic(y0)), alpha=0.05))

# Post-process the results to check the actual coverage.
tp <- -beta[2] / (2 * beta[3])
covers <- sim["lcl",] <= tp & tp <= sim["ucl",]
mean(covers, na.rm=TRUE) # Should be close to 1 - 2*alpha

# Plot the distributions of the results.
par(mfrow=c(2,2))
plot(x, logistic(y0), type="l", lwd=2, col="#4040d0", main="Simulated Data",ylim=c(0,1))
points(x, rbinom(length(x), 1, logistic(y0)), pch=19)
hist(sim["peak.x",], main="Estimates"); abline(v=tp, col="Red")
hist(sim["lcl",], main="Lower Confidence Limits"); abline(v=tp, col="Red")
hist(sim["ucl",], main="Upper Confidence Limits"); abline(v=tp, col="Red")

logistic <- function(x) 1 / (1 + exp(-x))

peak <- function(x, y, alpha=0.05) {
  #
  # Estimate the peak of a quadratic logistic fit of y to x
  # and a 1-alpha confidence interval for that peak.
  #
  logL <- function(b) {
    # Log likelihood.
    p <- sapply(cbind(rep(1, length(x)), x, x*x) %*% b, logistic)
    sum(log(p[y==1])) + sum(log(1-p[y==0]))
  }
  f <- function(gamma) {
    # Deviance as a function of offset from the peak.
    b0 <- c(b[1] - b[2]^2/(4*b[3]) + b[3]*gamma^2, -2*b[3]*gamma, b[3])
    -2.0 * logL(b0)
  }
  # Estimation.
  fit <- glm(y ~ x + I(x*x), family=binomial(link = "logit"))
  if (!fit$converged) return(rep(NA,3))

  b <- coef(fit)
  tp <- -b[2] / (2 * b[3])

  # Two-sided confidence interval:
  # Search for where the deviance is at a threshold determined by alpha.
  delta <- qchisq(1-alpha, df=1)
  u <- sd(x)
  while(fit$deviance - f(tp+u) + delta > 0) u <- 2*u # Find an upper bound
  l <- sd(x)
  while(fit$deviance - f(tp-l) + delta > 0) l <- 2*l # Find a lower bound
  upper <- uniroot(function(gamma) fit$deviance - f(gamma) + delta, 
                   interval=c(tp, tp+u))
  lower <- uniroot(function(gamma) fit$deviance - f(gamma) + delta, 
                   interval=c(tp-l, tp))

  # Return a vector of the estimate, lower limit, and upper limit.
  c(peak=tp, lcl=lower$root, ucl=upper$root)
}