Jak sprawdzić, czy

Załóżmy, że mam średnio trzy niezależne grupy $\mu_1,~ \mu_2,~\mu_3$ odpowiednio.

Jak mogę sprawdzić, czy $\mu_1 < \mu_2 <\mu_3$ lub nie korzystam $n_1,~n_2,~n_3$ próbki z każdej grupy?

Chciałbym poznać ogólną metodologię, a nie szczegółowe obliczenia. Nie mogłem wymyślić, jak ustalić moją hipotezę$H_0$ i $H_1$.

W statystykach nie można sprawdzić, czy „X jest prawdą, czy nie”. Możesz jedynie próbować znaleźć dowody, że hipoteza zerowa jest fałszywa.

Powiedzmy, że twoja hipoteza zerowa jest

$$H_0^1: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3.$$ Załóżmy również, że masz sposób oszacowania wektora $\mu = (\mu_1, \mu_2, \mu_3)'$. Aby zachować rzeczy, po prostu załóż, że masz estymator $$x \sim N(\mu, \Sigma),$$ gdzie $\Sigma$ jest $3 \times 3$macierz współzmienna. Możemy przepisać hipotezę zerową jako $$A \mu < 0,$$ gdzie $$A = \begin{bmatrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \end{bmatrix}.$$ To pokazuje, że twoja hipoteza zerowa może być wyrażona jako ograniczenie nierówności w wektorze $A \mu$. Naturalny estymator$A\mu$ jest dany przez $$A x \sim N(A\mu, A\Sigma A').$$ Możesz teraz używać frameworka do testowania ograniczenia nierówności na normalnych wektorach podanych w:

Kudo, Akio (1963). „Wielowymiarowy analog testu jednostronnego”. W: Biometrika 50.3 / 4, s. 403–418.

Ten test zadziała również, jeśli założenie normalności zachowuje się tylko w przybliżeniu („asymptotycznie”). Na przykład zadziała, jeśli możesz narysować przykładowe środki z grup. Jeśli narysujesz próbki wielkości$n_1, n_2, n_3$ a jeśli możesz rysować niezależnie od grup, to $\Sigma$ jest macierzą diagonalną z diagonalną

$$(\sigma_1^2/n_1, \sigma_2^2/n_2, \sigma_3^2/n_3)',$$ gdzie $\sigma_k^2$ to wariancja w grupie $k = 1, 2, 3$. W aplikacji można użyć wariancji próbki zamiast nieznanej wariancji populacji bez zmiany właściwości testu.

Jeśli natomiast twoja alternatywna hipoteza jest

$$H_1^2: \mu_1 < \mu_2 < \mu_3$$ wtedy twoja hipoteza zerowa staje się $$H_0^2: \text{NOT $H_1$}.$$ To nie jest zbyt operacyjne. Pamiętaj, że naszą nową alternatywną hipotezę można zapisać jako$H_1: A\mu <0$ po to aby $$H_0^2: \text{there exists a $k=1,2$ such that $(A\mu)_k \geq 0$}.$$ Nie wiem, czy istnieje na to jakiś specjalistyczny test, ale zdecydowanie możesz wypróbować strategię opartą na kolejnych testach. Pamiętaj, że próbujesz znaleźć dowody przeciwko zeru. Więc możesz najpierw przetestować $$H_{0,1}^2: (A\mu)_1 \geq 0.$$ i wtedy $$H_{0,2}^2: (A\mu)_2 \geq 0.$$ Jeśli odrzucisz oba razy, znajdziesz dowody na to $H_0$ jest fałszywe, a ty odrzucasz $H_0$. Jeśli nie, to nie odrzucasz$H_0$. Ponieważ testujesz wiele razy, musisz dostosować nominalny poziom podtestu. Możesz użyć korekcji Bonferroniego lub ustalić dokładną korektę (skoro wiesz$\Sigma$).

Kolejny sposób konstruowania testu dla $H_0^2$ to zauważyć

$$H_0^2: \max_{k=1,2} (A\mu)_k \geq 0.$$ Oznacza to użycie $\max Ax$jako statystyka testowa. Test będzie miał niestandardowy rozkład poniżej zera, ale odpowiednia wartość krytyczna powinna być nadal dość łatwa do obliczenia.

Odpowiedź udzielona przez @ andreas-dzemski jest poprawna tylko wtedy, gdy wiemy, że dane są zwykle dystrybuowane.

Jeśli nie znamy rozkładu, uważam, że lepiej byłoby przeprowadzić test nieparametryczny. W tym przypadku najprostszym wydaje się być test permutacji. To jest książka na ten temat i to jest ładne wyjaśnienie Internecie. Poniżej podaję kod R, aby obliczyć ten test.

# some test data
D <- data.frame(group1=c(3,6,2,2,3,9,3,4,2,5), group2=c(5,3,10,1,10,2,4,4,2,2), group3=c(8,0,1,5,10,7,3,4,8,1))

# sample with replacement
resample <- function(X) sample(X, replace=TRUE)

# return true if mu1 < mu2 < mu3
test     <- function(mu1, mu2, mu3) (mu1 < mu2) & (mu2 < mu3)

# resampling test that returns the probability of observing the relationship
mean(replicate(1000, test(mean(resample(D$group1)), mean(resample(D$group2)), mean(resample(D$group3)))))