Terminologia bayesowskiej średniej prawdopodobieństwa z jednolitym przełożeniem

Jeśli Uniform i Bin , to tylna średnia jest podana przez . $p \sim$ $(0,1)$ $X \sim$ $(n, p)$ $p$ $\frac{X+1}{n+2}$

Czy istnieje wspólna nazwa tego estymatora? Odkryłem, że rozwiązuje wiele problemów ludzi i chciałbym móc wskazać innym referencje, ale nie byłem w stanie znaleźć dla nich właściwej nazwy.

Niejasno pamiętam, jak nazywa się to „estymator + 1 / + 2” w książce statystyk 101, ale nie jest to zbyt łatwe do przeszukiwania określenie.

bayesian terminology laplace-smoothing

— Cliff AB
źródło

Odpowiedzi:

Ponieważ wcześniejsze i prawdopodobieństwo wykazujące sukcesów w próbach, rozkład tylny to (Łatwo to zauważyć, mnożąc jądra z przeszłości i prawdopodobieństwo zdobycia jądra z tyłu). $\mathsf{Unif}(0,1) \equiv \mathsf{Beta}(\alpha_0=1,\beta_0 =1)$ $\mathsf{Binom}(n, \theta)$ $x$ $n$ $\mathsf{Beta}(\alpha_n=1 + x,\; \beta_n = 1 + n - x).$

Zatem średnia tylna to

μ_{n} = \frac{α_{n}}{α_{n} + β} = \frac{x + 1}{n + 2} .

$\mu_n = \frac{\alpha_n}{\alpha_n+\beta} = \frac{x+1}{n+2}.$

W kontekście bayesowskim najlepszym rozwiązaniem może być użycie tylnej terminologii . (Mediana rozkładu tylnego i maksimum jego pliku PDF zostały również wykorzystane do podsumowania informacji tylnej).

Uwagi: (1) Używasz jako nieinformacyjnej wcześniejszej dystrybucji. Na solidnych podstawach teoretycznych niektórzy statystycy bayesowscy wolą używać wcześniejszego Jeffreys jako nieinformacyjnego przeora. Zatem średnia tylna to $\mathsf{Beta}(1,1)$ $\mathsf{Beta}(\frac 1 2, \frac 1 2)$ $\mu_n = \frac{x+.5}{n+1}.$

(2) Dokonując częstych przedziałów ufności Agresti i Coull zasugerowali „dodanie do próby dwóch sukcesów i dwóch niepowodzeń” w celu uzyskania przedziału ufności na podstawie estymatora która ma bardziej dokładne prawdopodobieństwo pokrycia (niż tradycyjny przedział Walda przy użyciuDavid Moore nazwał to estymatorem plus cztery w niektórych swoich szeroko używanych elementarnych tekstach statystycznych, a inni używali terminologii. Nie zdziwiłbym się, gdyby twój estymator nazywał „plus dwa”, a Jeffries „plus”. $\hat p = \frac{x+2}{n+4},$ $\hat p = \frac x n).$

(3) Wszystkie te estymatory skutkują „zmniejszeniem estymatora do 1/2”, dlatego nazwano je „estymatorami skurczu” (termin, który jest znacznie szerzej stosowany, szczególnie w wnioskach Jamesa-Steina). Zobacz odpowiedź (+1) autorstwa @Taylor.

— BruceET
źródło

Powiązane - stats.stackexchange.com/questions/185221 .

— Royi

tak, ale jak to pomaga w terminologii ?

— BruceET

Pomaga w napisaniu pochodnej jest łatwe. Myślę, że niektórzy ludzie mogą napotkać to pytanie, szukając samej pochodnej.

— Royi

(2) jest tym, czym naprawdę się interesowałem. Nie zdawałem sobie sprawy, że estymator został przedstawiony dla uzasadnień czysto częstotliwościowych. W przypadkach, w których zalecam to jako rozwiązanie, zawsze jest to coś w rodzaju obliczenia prawdopodobieństwa, gdy pewien multinomial nie był wcześniej widziany (tj. Grupowanie według liczby liter i jeden klaster nie zawiera „z”), więc nie ma zrobić z prawdopodobieństwem pokrycia CI. Dziękuję Ci!

— Cliff AB,

(0, 1) .

$(0,1).$

Nazywa się to wygładzaniem Laplace'a lub regułą sukcesji Laplace'a , ponieważ Pierre-Simon Laplace wykorzystał ją do oszacowania prawdopodobieństwa wschodu słońca jutro: „Stwierdzamy zatem, że zdarzenie miało miejsce wiele razy, prawdopodobieństwo, że to się powtórzy. następnym razem jest równa tej liczbie powiększonej o jednostkę, podzielonej przez tę samą liczbę powiększoną o dwie jednostki. ”

Essai philosophique sur les probabilités par le markiz de Laplace

— Xi'an
źródło

(+1) w celach historycznych

— BruceET

(+1) Zarówno odpowiedzi na to, jak i @ BruceET były różne, ale poprawne odpowiedzi na moje pytanie.

— Cliff AB

$.5$

— Taylor
źródło

(+1) To prawda, to estymator skurczu. Chciałem konkretnej nazwy dla przypadku dwumianowego / wielomianowego, abym mógł wskazać innym badaczom materiał na temat tego dokładnego estymatora, aby nie myśleli, że mówię „dodaj 1 do rzeczy, dopóki nie otrzymasz odpowiedzi, której chcesz”, ale także nie trzeba zaczynać od początku wyjaśniania czym jest statystyka bayesowska.

— Cliff AB