Jak mogę sprawdzić, czy dwa oszacowania parametrów w tym samym modelu są znacząco różne?

Mam model

$$y=x^a \times z^b + e$$

gdzie jest zależne zmienne, i mają zmienne objaśniające, i są parametrami i jest uchyb. Mam parametrów szacunki i oraz macierzy kowariancji tych szacunków. Jak zrobić testu I, jeżeli i są znacząco różne?$y$$x$$z$$a$$b$$e$$a$$b$$a$$b$

Oceniając hipotezę i są różne odpowiada testowaniu hipotezy,$a$$b$$a - b = 0$ (na Alternatywnie że ).$a-b\ne 0$

Poniższa analiza zakłada, że ​​uzasadnione jest oszacowanie jako Akceptuje również formułę modelu (która często jest rozsądna), która - ponieważ błędy są addytywne (i mogą nawet wytwarzać ujemne obserwowane wartości ) - nie pozwala nam na linearyzację przez przyjęcie logarytmów obu stron.$a-b$

$$U = \hat a - \hat b.$$ y$y$

Wariancję można wyrazić jako macierz kowariancji dla jako$U$$(c_{ij})$$(\hat a, \hat b)$

$$\operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}(\hat a - \hat b) = \operatorname{Var}(\hat a) + \operatorname{Var}(\hat b) - 2 \operatorname{Cov}(\hat a, \hat b) = c_{11} + c_{22} - 2c_{12}^2.$$

Gdy jest szacowany z najmniejszych kwadratów, zwykle stosuje się „test t”; to znaczy, rozkład nazwa jest aproksymowany rozkładem Studenta t o stopniach swobody (gdzie jest liczbą danych, a liczbą współczynników ). Niezależnie od tego, zwykle stanowi podstawę każdego testu. Możesz wykonać test Z (gdy jest duże lub gdy dopasowuje się do Maksymalnego prawdopodobieństwa) lub na przykład go uruchomić.$(\hat a, \hat b)$t = U / √

$$t = U / \sqrt{\operatorname{Var(U)}}$$ n-2n2tn$n-2$$n$$2$$t$$n$

Aby być konkretnym, wartość p testu t podano przez

$$p = 2t_{n-2}(-|t|)$$

gdzie jest funkcją rozkładu t (kumulatywnego) Studenta. Jest to jedno wyrażenie dla „obszaru ogona”: szansa, że ​​zmienna t Studenta ( stopni swobody) jest równa lub przekracza wielkość statystyki testowej,$t_{n-2}$$n-2$$|t|.$

---

Mówiąc bardziej ogólnie, dla liczb i możesz zastosować dokładnie to samo podejście do przetestowania dowolnej hipotezy$c_1,$ $c_2,$$\mu$

$$H_0: c_1 a + c_2 b = \mu$$

przeciw dwustronnej alternatywie. (Obejmuje to specjalny, ale szeroko rozpowszechniony przypadek „kontrastu” .) Użyj oszacowanej macierzy wariancji-kowariancji aby oszacować wariancję i statystyki$(c_{ij})$$U = c_1 a + c_2 b$

$$t = (c_1 \hat a + c_2 \hat b - \mu) / \sqrt{\operatorname{Var}(U)}.$$

Powyższe dotyczy przypadku i$(c_1,c_2) = (1,-1)$$\mu=0.$

---

Aby sprawdzić, czy ta rada jest poprawna, uruchomiłem następujący Rkod, aby utworzyć dane zgodnie z tym modelem (z błędami o rozkładzie normalnym e), dopasować je i obliczyć wartości wiele razy. Sprawdzenie polega na tym, że wykres prawdopodobieństwa (na podstawie założonego rozkładu t Studenta) ściśle podąża za przekątną. Oto wykres w symulacji rozmiaru którym (bardzo mały zestaw danych, wybrany, ponieważ rozkład jest daleki od Normalnego) ia$t$$t$$500$$n=5$$t$= b = - 1 / 2.$a=b=-1/2.$

Przynajmniej w tym przykładzie procedura działa pięknie. Rozważ ponowne uruchomienie symulacji przy użyciu parametrów (odchylenie standardowe błędu) oraz które odzwierciedlają Twoją sytuację.$a,$ $b,$ $\sigma$$n$

Oto kod.

#
# Specify the true parameters.
#
set.seed(17)
a <- -1/2
b <- -1/2
sigma <- 0.25 # Variance of the errors
n <- 5        # Sample size
n.sim <- 500  # Simulation size
#
# Specify the hypothesis.
#
H.0 <- c(1, -1) # Coefficients of `a` and `b`.
mu <- 0 
#
# Provide x and z values in terms of their logarithms.
#
log.x <- log(rexp(n))
log.z <- log(rexp(n))
#
# Compute y without error.
#
y.0 <- exp(a * log.x + b * log.z)
#
# Conduct a simulation to estimate the sampling distribution of the t statistic.
#
sim <- replicate(n.sim, {
  #
  # Add the errors.
  #
  e <- rnorm(n, 0, sigma)
  df <- data.frame(log.x=log.x, log.z=log.z, y.0, y=y.0 + e)
  #
  # Guess the solution.
  #
  fit.ols <- lm(log(y) ~ log.x + log.z - 1, subset(df, y > 0))
  start <- coefficients(fit.ols) # Initial values of (a.hat, b.hat)
  #
  # Polish it using nonlinear least squares.
  #
  fit <- nls(y ~ exp(a * log.x + b * log.z), df, list(a=start[1], b=start[2]))
  #
  # Test a hypothesis.
  #
  cc <- vcov(fit)
  s <- sqrt((H.0 %*% cc %*% H.0))
  (crossprod(H.0, coef(fit)) - mu) / s
})
#
# Display the simulation results.
#
summary(lm(sort(sim) ~ 0 + ppoints(length(sim))))
qqplot(qt(ppoints(length(sim)), df=n-2), sim, 
       pch=21, bg="#00000010", col="#00000040",
       xlab="Student t reference value", 
       ylab="Test statistic")
abline(0:1, col="Red", lwd=2)