Jakie procesy mogą generować dane lub parametry dystrybuowane przez Laplace'a (podwójnie wykładnicze)?

16

Wiele dystrybucji ma „mity o pochodzeniu” lub przykłady procesów fizycznych, które dobrze opisują:

Dane normalnie rozproszone można uzyskać z sumy nieskorelowanych błędów za pomocą centralnego twierdzenia o granicy
Możesz uzyskać dane dystrybuowane dwumianowo z niezależnych rzutów monet lub zmiennych dystrybuowanych przez Poissona z limitu tego procesu
Możesz uzyskać wykładniczo rozproszone dane z czasów oczekiwania przy stałej szybkości rozpadu.

I tak dalej.

Ale co z rozkładem Laplace'a ? Jest to przydatne do regularyzacji L1 i regresji LAD , ale ciężko mi wymyślić sytuację, w której można się spodziewać, że zobaczy ją w naturze. Dyfuzja byłaby gaussowska, a wszystkie przykłady, o których mogę myśleć z rozkładami wykładniczymi (np. Czasy oczekiwania), obejmują wartości nieujemne.

distributions laplace-distribution

— David J. Harris
źródło

2

Powiązane: stats.stackexchange.com/questions/71126/… .

— StubbornAtom

14

Na dole strony w Wikipedii, którą łączysz, znajduje się kilka przykładów:

Jeśli i są rozkładami wykładniczymi IID, ma rozkład Laplace'a. $X_1$ $X_2$ $X_1 - X_2$
Jeśli są standardowymi rozkładami normalnymi IID, ma standardowy rozkład Laplace'a. Zatem wyznacznik losowej macierzy ze standardowymi wpisami IID standardowymi ma rozkład Laplace'a. $X_1, X_2, X_3, X_4$ $X_1X_4 - X_2X_3$ $2\times 2$ $\begin{pmatrix}X_1 & X_2 \\\ X_3 & X_4 \end{pmatrix}$
Jeśli są jednolite IID na , to $X_1, X_2$ $[0,1]$ ma standardowy rozkład Laplace'a. $\log \frac{X_1}{X_2}$

— Douglas Zare
źródło

16

+1 Warto zauważyć, że wszystkie trzy przykłady są naprawdę takie same: # 2 można przepisać jako

, skalowana różnica dwóch skalowanych

((X_{1} + X_{4})^{2} + (X_{2} + X_{3})^{2} - [(X_{1} - X_{4})^{2} + (X_{2} - X_{3})^{2}]) / 4

$((X_1+X_4)^2 + (X_2+X_3)^2 - [(X_1-X_4)^2 + (X_2-X_3)^2])/4$

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$ (Wykładnicze) rozkłady, a # 3 to różnica dwóch rozkładów wykładniczych, ponieważ

są wykładnicze.

\log (X_{i})

$\log(X_i)$

— whuber

2

@whuber: Dzięki za wyjaśnienie, dlaczego wyznacznik był taki sam jak inne! Byłem zaskoczony, widząc to, ponieważ zgadłbym, że gęstość wyznacznika będzie się zmieniać płynnie, tak jak wszędzie, z wyjątkiem

.

0

$0$

— Douglas Zare

2

Staram się wymyślić „historię”, która pasowałaby do każdego z przykładów na wikipedii. Powiedzmy, że gram w pinball z moim równie kiepskim bratem. W każdej grze gramy jedną piłką. Z grubsza w każdym momencie istnieje równa szansa, że ja (lub on) stracę piłkę, a wynik jest w zasadzie liniową funkcją tego, jak długo gram. Następnie mój wynik (i jego) można modelować rozkładem wykładniczym, a różnica między mną a wynikiem mojego brata w każdej rundzie będzie rozkładem Laplace'a. Jakie prace?

— Rasmus Bååth

2

$N_p$ $X_N = \sum_i^{N_p} X_i$ $N_p$ $p$ $X_i$ $\mu$ $v$

$p\to 0$

$Y:= \lim_{p\to 0} \sqrt{p} (X_N - N_p\mu) = Laplace(0,\sqrt{\frac{v}{2}})$

$Laplace(a,b)$ $\phi(x) = \frac{1}{2b} \exp\left( - \frac{|x-a|}{2b}\right)$

BV Gnedenko, Twierdzenia graniczne dla sum losowej liczby dodatnich niezależnych zmiennych losowych, Proc. 6. Berkeley Syposium Math. Stat. Probabil. 2, 537–549, 1970.

— danp
źródło