Empiryczny związek między średnią, medianą i trybem

W przypadku unimodalnego rozkładu, który jest umiarkowanie wypaczony, mamy następującą empiryczną zależność między średnią, medianą i trybem: Jak uzyskano ten związek?

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

Czy Karl Pearson opracował tysiące takich relacji przed sformułowaniem takiego wniosku, czy też istnieje logiczna linia uzasadnienia tej relacji?

Oznacz średnią ( ≠ średnią), m medianę, σ odchylenie standardowe i M tryb. Na koniec niech X będzie próbką, realizacją ciągłego unimodalnego rozkładu F, dla którego istnieją dwa pierwsze momenty.$\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

Dobrze to wiadomo

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

Jest to częste ćwiczenie z podręcznika:

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ $c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

obowiązuje dla dowolnego unimodalnego, kwadratowego całkowania (niezależnie od pochylenia). Zostało to formalnie udowodnione w Johnson and Rogers (1951), chociaż dowód zależy od wielu pomocniczych lematów, które trudno tu dopasować. Idź zobacz oryginalny papier.

---

$F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

$\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

$(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [0]: Problem momentu dla dystrybucji unimodalnych. NL Johnson i CA Rogers. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 22, nr 3 (wrzesień 1951), str. 433–439
• [1]: Nierówność w średnim trybie mediany: kontrprzykłady Karim M. Abadir Teoria ekonometryczna, t. 21, nr 2 (kwiecień 2005), s. 477–482
• [2]: WR van Zwet, średnia, mediana, tryb II, statystyki. Neerlandica, 33 (1979), s. 1–5.
• [3]: Średnia, mediana i tryb rozkładów unimodalnych: charakterystyka. S. Basu i A. DasGupta (1997). Teoria Probab. Appl., 41 (2), 210–223.
• [4]: Kilka uwag na temat średniej, mediany, trybu i skośności. Michikazu Sato. Australian Journal of Statistics. Tom 39, wydanie 2, strony 219–224, czerwiec 1997 r
• [5]: PT von Hippel (2005). Mean, Mediana i Skew: poprawianie reguły podręcznika. Journal of Statistics Education Tom 13, nr 2.

Artykuł chl wskazuje na kilka ważnych informacji - pokazujących, że nie jest on zbliżony do ogólnej zasady (nawet dla ciągłych, gładkich, „ładnych” zmiennych, takich jak Weibull). Tak więc, chociaż może to być w przybliżeniu prawda, często tak nie jest.

Skąd więc pochodzi Pearson? Jak doszedł do tego przybliżenia?

Na szczęście Pearson sam mówi nam odpowiedź.

Pierwsze użycie terminu „pochylenie” w tym znaczeniu, w jakim go używamy, wydaje się być Pearson, 1895 [1] (pojawia się dokładnie w tytule). Wydaje się, że w tym dokumencie wprowadza on także termin tryb (przypis, s.345):

Uważam, że wygodne jest użycie terminu tryb odcięta odpowiadającego rzędnej maksymalnej częstotliwości. „Sposób”, „tryb” i „mediana” mają wszystkie odrębne znaki ważne dla statystyk.

Wydaje się również, że jest to jego pierwszy prawdziwy opis jego systemu krzywych częstotliwości .

Mówiąc o oszacowaniu parametru kształtu w rozkładzie Pearsona typu III (co teraz nazwalibyśmy przesuniętą - i być może odwróconą - gamma), mówi (p375):

$p$$^\dagger$

$>1$

$\dagger$$x$

I rzeczywiście, jeśli spojrzymy na stosunek (tryb średni) do (średnia-mediana) dla rozkładu gamma, obserwujemy to:

(Niebieska część oznacza region, w którym Pearson mówi, że zbliżenie jest rozsądne).

$\alpha$$\beta$

$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$$e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$$\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$$\sigma^2$$\frac{3}{2}\sigma^2$$\frac{1}{2}\sigma^2$$\sigma^2$

Istnieje spora liczba dobrze znanych rozkładów - z których kilka zna Pearson - dla których jest to bliskie prawdy dla szerokiego zakresu wartości parametrów; zauważył to z rozkładem gamma, ale pomyślałby o tym, gdy przyjrzał się kilku innym rozkładom, które prawdopodobnie rozważyłby.

[1]: Pearson, K. (1895),
„Wkłady w matematyczną teorię ewolucji, II: Wariacja skośna w jednorodnym materiale”,
Transakcje filozoficzne Royal Society, seria A, 186, 343-414
[Brak praw autorskich. Tutaj dostępny bezpłatnie ]

Ten związek nie został wyprowadzony. Zauważono, że w przybliżeniu utrzymuje się empirycznie w pobliżu rozkładów symetrycznych . Patrz ekspozycja Yule'a we wstępie do teorii statystyki (1922), s. 121, rozdział VII sekcja 20. Przedstawia przykład empiryczny.