Jest to dość prosty problem. Chociaż istnieje związek między rozkładami Poissona i ujemnych dwumianów, tak naprawdę uważam, że nie jest to pomocne w przypadku konkretnego pytania, ponieważ zachęca ludzi do myślenia o negatywnych procesach dwumianowych. Zasadniczo masz szereg procesów Poissona:
Yi(ti)|λi∼Poisson(λiti)
Gdzie jest procesem, a t i jest czas obserwować go, a ja oznacza fizycznych. Mówisz, że te procesy są „podobne”, wiążąc stawki razem poprzez rozkład:Yitii
λi∼Gamma(α,β)
Wykonując integrację / miksowanie nad , masz:λi
Yi(ti)|αβ∼NegBin(α,pi)wherepi=titi+β
Ma to pmf:
Pr(Yi(ti)=yi|αβ)=Γ(α+yi)Γ(α)yi!pyii(1−pi)α
Aby uzyskać rozkład czasu oczekiwania, zauważamy, że:
= 1 - ( 1 - p i ) α = 1 - ( 1 +
Pr(Ti≤ti|αβ)=1−Pr(Ti>ti|αβ)=1−Pr(Yi(ti)=0|αβ)
=1−(1−pi)α=1−(1+tiβ)−α
Zróżnicuj to i masz plik PDF:
pTi(ti|αβ)=αβ(1+tiβ)−(α+1)
Jest to członek uogólnionych dystrybucji Pareto, typ II. Użyłbym tego jako twojego rozkładu czasu oczekiwania.
Aby zobaczyć związek z rozkładem Poissona, zwróć uwagę, że , więc jeśli ustawimyβ=ααβ=E(λi|αβ) a następnie weź granicęα→∞otrzymujemy:β=αλα→∞
limα→∞αβ(1+tiβ)−(α+1)=limα→∞λ(1+λtiα)−(α+1)=λexp(−λti)
This means that you can interpret 1α as an over-dispersion parameter.