Jak symulować z kopuły Gaussa?

Załóżmy, że mam dwa jednoznaczne rozkłady krańcowe, powiedzmy i , z których mogę symulować. Teraz skonstruuj ich wspólny rozkład za pomocą kopuły Gaussa , oznaczonej jako . Wszystkie parametry są znane. $F$ $G$ $C(F,G;\Sigma)$

Czy istnieje metoda inna niż MCMC do symulacji z tej kopuły?

normal-distribution simulation copula

— Tilo
źródło

Zakładając, że dla , oczywiście: Generuj . Weź i . Wszystko gotowe.

Σ_{i i} = 1

$\Sigma_{ii} = 1$

i = 1, 2

$i=1,2$

(X, Y) \sim N (0, Σ)

$(X,Y) \sim \mathcal N(0,\Sigma)$

F^{- 1} (Φ (X))

$F^{-1}(\Phi(X))$

G^{- 1} (Φ (Y))

$G^{-1}(\Phi(Y))$

— kardynał

R ma również pakiet o nazwie „kopula”, który może symulować większość standardowych kopuł.

— semibruin

Istnieje bardzo prosta metoda symulacji z kopuły Gaussa, która opiera się na definicjach wielowymiarowego rozkładu normalnego i kopuły Gaussa.

Zacznę od podania wymaganej definicji i właściwości wielowymiarowego rozkładu normalnego, a następnie kopuły Gaussa, a następnie przedstawię algorytm do symulacji z kopuły Gaussa.

Wielowymiarowy rozkład normalny
Wektor losowy ma wielowymiarowy rozkład normalny, jeśli gdzie jest wymiarowym wektorem niezależnych standardowych normalnych zmiennych losowych, jest a wymiarowy wektor stałych, a jest macierzą stałych. Notacja $X = (X_1, \ldots, X_d)'$

X \overset{d}{=} μ + A Z,

$X \stackrel{\mathrm{d}}{=} \mu + AZ,$

Z

$Z$

k

$k$

μ

$\mu$

d

$d$

A

$A$

d \times k

$d\times k$

\overset{d}{=}

$\stackrel{\mathrm{d}}{=}$ oznacza równość w dystrybucji. Tak więc każdy składnik

jest zasadniczo ważoną sumą niezależnych standardowych normalnych zmiennych losowych. Od właściwości średniej wektorów i macierzy kowariancji mamy

, co prowadzi do naturalnego zapisu

X

$X$

E (X) = μ

${\rm E}(X) = \mu$

c o v (X) = Σ

${\rm cov}(X) = \Sigma$

Σ = A A^{'}

$\Sigma = AA'$

X \sim N_{d} (μ, Σ)

$X \sim {\rm N}_d(\mu, \Sigma)$

Gaussa kopuła Gaussa kopuła jest zdefiniowany implicitely z wielowymiarowej rozkładu normalnego, to znaczy kopułę Gaussa jest kopuła związane z wielowymiarowej rozkładu normalnego. Konkretnie, z twierdzenia Sklara kopula Gaussa to gdzie

C_{P} (u_{1}, \dots, u_{d}) = Φ_{P} (Φ^{- 1} (u_{1}), \dots, Φ^{- 1} (u_{d})),

$C_P(u_1, \ldots, u_d) = \boldsymbol{\Phi}_P(\Phi^{-1}(u_1), \ldots, \Phi^{-1}(u_d)),$

Φ

$\Phi$ oznacza standardową funkcję rozkładu normalnego, a

oznacza wielowymiarową standardową funkcję rozkładu normalnego z macierzą korelacji P. Zatem kopuła Gaussa jest po prostu standardowym wielowymiarowym rozkładem normalnym, w którym do każdego marginesu stosowana jest transformata całkowa prawdopodobieństwa .

Φ_{P}

$\boldsymbol{\Phi}_P$

Algorytm symulacji
W związku z powyższym naturalnym podejściem do symulacji z kopuły Gaussa jest symulacja z wielowymiarowego standardowego rozkładu normalnego z odpowiednią macierzą korelacji i przekształcenie każdego marginesu za pomocą transformaty całkowej prawdopodobieństwa ze standardową funkcją rozkładu normalnego. Podczas symulacji z wielowymiarowego rozkładu normalnego z macierzą kowariancji zasadniczo sprowadza się do wykonania ważonej sumy niezależnych standardowych normalnych zmiennych losowych, gdzie macierz „wagi” można uzyskać przez rozkład Cholesky'ego macierzy kowariancji . $P$ $\Sigma$ $A$ $\Sigma$

Dlatego algorytmem symulującym próbek z kopuły Gaussa z macierzą korelacji jest: $n$ $P$

Wykonaj rozkład Choleskiego i ustaw jako wynikową niższą macierz trójkątną. $P$ $A$
Powtórz następujące kroki razy.
1. Wygeneruj wektor niezależnych standardowych zmiennych normalnych. $Z = (Z_1, \ldots, Z_d)'$
2. Ustaw $X = AZ$
3. Zwraca . $U = (\Phi(X_1), \ldots, \Phi(X_d))'$

Poniższy kod w przykładowej implementacji tego algorytmu przy użyciu R:

## Initialization and parameters 
set.seed(123)
P <- matrix(c(1, 0.1, 0.8,               # Correlation matrix
              0.1, 1, 0.4,
              0.8, 0.4, 1), nrow = 3)
d <- nrow(P)                             # Dimension
n <- 200                                 # Number of samples

## Simulation (non-vectorized version)
A <- t(chol(P))
U <- matrix(nrow = n, ncol = d)
for (i in 1:n){
    Z      <- rnorm(d)
    X      <- A%*%Z
    U[i, ] <- pnorm(X)
}

## Simulation (compact vectorized version) 
U <- pnorm(matrix(rnorm(n*d), ncol = d) %*% chol(P))

## Visualization
pairs(U, pch = 16,
      labels = sapply(1:d, function(i){as.expression(substitute(U[k], list(k = i)))}))

Poniższa tabela pokazuje dane wynikające z powyższego kodu R.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

— QuantIbex
źródło

Gdzie po tym pojawiają się F i G?

— lcrmorin,

@Were_cat, co masz na myśli?

— QuantIbex,

W pierwotnym pytaniu jest mowa o F i G, dwóch rozkładach jednowymiarowych. Jak przechodzisz od copulas do rv z marginesami F i G?

— lcrmorin,

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

(0, 1)

$(0, 1)$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}

$Y_2$

F

$F$

G

$G$

Y_{1} = F^{- 1} (U_{1})

$Y_1 = F^{-1}(U_1)$

Y_{2} = G^{- 1} (U_{2})

$Y_2 = G^{-1}(U_2)$

F^{- 1}

$F^{-1}$

G^{- 1}

$G^{-1}$

F

$F$

G

$G$

@Were_cat, zacytować wikipedia spójka stronę: „a kopuła jest wielowymiarowa rozkład prawdopodobieństwa dla których marginalny rozkład prawdopodobieństwa każdej zmiennej jest jednolite copulas są używane do opisania zależności między zmiennymi losowymi.”.

— QuantIbex,