Znajdź UMVUE z

Pozwolić $X_1, X_2, . . . , X_n$ być zmiennymi losowymi mającymi pdf

$f_{X} (x ∣ θ) = θ (1 + x)^{- (1 + θ)} I_{(0, \infty)} (x)$ $f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x)$

gdzie $\theta >0$ . Podaj UMVUE z $\frac{1}{\theta}$ i obliczyć jego wariancję

Dowiedziałem się o dwóch takich metodach dla uzyskanych UMVUE:

Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)
Lehmann-Scheffe Thereom

Spróbuję tego przy użyciu pierwszego z nich. Muszę przyznać, że nie do końca rozumiem, co się tutaj dzieje i opieram próbę rozwiązania na przykładowym problemie. mam to $f_X(x\mid\theta)$ jest pełną jednoparametrową rodziną wykładniczą z

$h(x)=I_{(0,\infty)}$ , $c(\theta)=\theta$ , $w(\theta)=-(1+\theta)$ , $t(x)=\text{log}(1+x)$

Od $w'(\theta)=1$ jest niezerowy $\Theta$ , obowiązuje wynik CRLB. Mamy

log f_{X} (x ∣ θ) = log (θ) - (1 + θ) \cdot log (1 + x)

$\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x)$

\frac{\partial}{\partial θ} log f_{X} (x ∣ θ) = \frac{1}{θ} - log (1 + x)

$\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x)$

\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} log f_{X} (x ∣ θ) = - \frac{1}{θ^{2}}

$\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2}$

więc

I_{1} (θ) = - E (- \frac{1}{θ^{2}}) = \frac{1}{θ^{2}}

$I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2}$

oraz CRLB dla obiektywnych estymatorów $\tau(\theta)$ jest

\frac{[τ^{'} (θ)]^{2}}{n \cdot I_{1} (θ)} = \frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

\sum_{i = 1}^{n} t (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} log (1 + X_{i})

$\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

następnie dowolna funkcja liniowa $\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ lub równoważnie dowolna funkcja liniowa $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ , osiągnie CRLB swoich oczekiwań, a zatem będzie UMVUE swoich oczekiwań. Od $\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}$ mamy to UMVUE z $\frac{1}{\theta}$ jest $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

Na naturalną parametryzację możemy pozwolić $\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1)$

Następnie

V a r (log (1 + X)) = \frac{d}{d η} (- \frac{1}{η + 1}) = \frac{1}{(η + 1)^{2}} = \frac{1}{θ^{2}}

$\mathsf{Var}(\text{log}(1+X))=\frac{d}{d\eta}\left(-\frac{1}{\eta+1}\right)=\frac{1}{(\eta+1)^2}=\frac{1}{\theta^2}$

Czy to prawidłowe rozwiązanie? Czy istnieje prostsze podejście? Czy ta metoda działa tylko wtedy, gdy $\mathsf E(t(x))$ równa się temu, co próbujesz oszacować?

— Remy
źródło

W miejscu, w którym wykazałeś, że pdf jest członkiem jednoparametrowej rodziny wykładniczej, natychmiast staje się jasne, że pełna wystarczająca statystyka dla rodziny to

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + X_{i})

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln(1+X_i)$ Ponieważ, jak mówisz,

E (T / n) = \frac{1}{θ}

$E(T/n)=\frac{1}{\theta}$ ,

T / n

$T/n$ jest UMVUE z

1 / θ

$1/\theta$ według twierdzenia Lehmanna-Scheffego.

— StubbornAtom

Więc część, w której mam „Odtąd

w^{'} (θ) = 1

$w'(\theta)=1$ jest niezerowy .....

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$ „nie ma znaczenia?

— Remy

Nie całkiem; wariancja

T

$T$ łatwiej jest znaleźć za pomocą CRLB. Aby rozwiązać oba pytania jednocześnie, twój argument jest wystarczający.

— StubbornAtom

Chciałbym znaleźć taką wariancję

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2} = \frac{θ^{2}}{n} {(- \frac{1}{θ^{2}})}^{2} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2=\frac{\theta^2}{n}\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)^2=\frac{1}{n\theta^2}$ ? Dlatego wcześniej robiłem to niepoprawnie?

— Remy

Tak, to jest wariant

T

$T$ . Dokładnie.

— StubbornAtom

Twoje rozumowanie jest w większości prawidłowe.

Łączna gęstość próbki $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ jest

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{θ^{n}}{{(\prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i}))}^{1 + θ}} 1_{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0}, θ > 0 \\ ⟹ \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = n \ln (θ) - (1 + θ) \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) + \ln (1_{min_{1 \leq i \leq n} x_{i} > 0}) \\ ⟹ \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{n}{θ} - \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) \\ = - n (\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i})}{n} - \frac{1}{θ}) \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{\theta^n}{\left(\prod_{i=1}^n (1+x_i)\right)^{1+\theta}}\mathbf1_{x_1,x_2,\ldots,x_n>0}\qquad,\,\theta>0 \\\\\implies \ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=n\ln(\theta)-(1+\theta)\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)+\ln(\mathbf1_{\min_{1\le i\le n} x_i>0}) \\\\\implies\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i) \\\\&=-n\left(\frac{\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)}{n}-\frac{1}{\theta}\right) \end{align}$

Tak więc wyraziliśmy funkcję punktacji w formie

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k (θ) (T (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{1}{θ}) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=k(\theta)\left(T(x_1,x_2,\ldots,x_n)-\frac{1}{\theta}\right)\tag{1}$

, który jest warunkiem równości w nierówności Cramér-Rao.

Nie jest to trudne do zweryfikowania

\begin{matrix} (2) & E (T) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \underset{= 1 / θ}{\underset{⏟}{E (\ln (1 + X_{i}))}} = \frac{1}{θ} \end{matrix}

$E(T)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\underbrace{E(\ln(1+X_i))}_{=1/\theta}=\frac{1}{\theta}\tag{2}$

Od $(1)$ i $(2)$ możemy stwierdzić, że

Statystyka $T(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ jest obiektywnym estymatorem $1/\theta$ .
$T$ spełnia warunek równości nierówności Cramér-Rao.

Te dwa fakty implikują to $T$ jest UMVUE z $1/\theta$ .

Druga kula faktycznie mówi nam o tej wariancji $T$ osiąga dolną granicę Cramér-Rao $1/\theta$ .

Rzeczywiście, jak wykazałeś,

E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = - \frac{1}{θ^{2}}

$E_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=-\frac{1}{\theta^2}$

Oznacza to, że funkcją informacyjną dla całej próbki jest

I (θ) = - n E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = \frac{n}{θ^{2}}

$I(\theta)=-nE_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=\frac{n}{\theta^2}$

Więc Cramér-Rao dolnej granicy $1/\theta$ i stąd wariancja UMVUE jest

Var (T) = \frac{{[\frac{d}{d θ} (\frac{1}{θ})]}^{2}}{I (θ)} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\operatorname{Var}(T)=\frac{\left[\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\theta}\right)\right]^2}{I(\theta)}=\frac{1}{n\theta^2}$

Wykorzystaliśmy tutaj następstwo nierówności Craméra-Rao, która mówi, że dla rodziny dystrybucji $f$ sparametryzowane przez $\theta$ (przy założeniu warunków regularności nierówności CR do utrzymania), jeżeli jest to statystyka $T$ jest bezstronny dla $g(\theta)$ dla niektórych funkcji $g$ i jeśli spełnia warunek równości w nierówności CR, a mianowicie

\frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x) = k (θ) (T (x) - g (θ))

$\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f_{\theta}(x)=k(\theta)\left(T(x)-g(\theta)\right)$ , następnie

T

$T$ musi być UMVUE z

g (θ)

$g(\theta)$ . Tak więc ten argument nie działa w każdym problemie.

Alternatywnie, używając twierdzenia Lehmanna-Scheffego, można to powiedzieć $T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(1+X_i)$ jest UMVUE z $1/\theta$ jak to jest bezstronne $1/\theta$ i jest kompletną wystarczającą statystyką dla rodziny rozkładów. Że $T$ czy konkurencja jest wystarczająca, wynika ze struktury łącznej gęstości próbki w kategoriach jednoparametrowej rodziny wykładniczej. Ale wariancja $T$ może być trochę trudne do znalezienia bezpośrednio.

— UpartyAtom
źródło

Można również użyć dystrybucji

T

$T$ znaleźć jego średnią, wariancję.

— StubbornAtom