Problem Monty Hall - gdzie zawodzi nasza intuicja?

Z Wikipedii:

Załóżmy, że bierzesz udział w teleturnieju i masz do wyboru trzy drzwi: za jednymi drzwiami jest samochód; za innymi kozy. Ty wybierasz drzwi, powiedz nr 1, a gospodarz, który wie, co jest za drzwiami, otwiera kolejne drzwi, powiedz nr 3, który ma kozę. Następnie mówi do ciebie: „Czy chcesz wybrać drzwi nr 2?” Czy zmiana twojego wyboru jest korzystna?

Odpowiedź brzmi oczywiście tak - ale jest niewiarygodna. Jakie nieporozumienie ma większość ludzi co do prawdopodobieństwa, które prowadzi do tego, że drapiemy się po głowie - a właściwie mówiąc; jaką ogólną zasadę możemy usunąć z tej układanki, aby lepiej trenować naszą intuicję w przyszłości?

Rozważ dwie proste odmiany problemu:

1. Zawodnik nie ma otwartych drzwi. Gospodarz nie oferuje pomocy w wyborze drzwi. W tym przypadku oczywiste jest, że szanse na wybór właściwych drzwi wynoszą 1/3.
2. Zanim uczestnik zostanie poproszony o zgadnięcie, gospodarz otwiera drzwi i ujawnia kozę. Po tym, jak gospodarz ujawni kozę, zawodnik musi wybrać samochód z dwóch pozostałych drzwi. W tym przypadku oczywiste jest, że szanse na wybór właściwych drzwi wynoszą 1/2.

Aby zawodnik wiedział, że prawdopodobieństwo wyboru drzwi jest prawidłowe, musi wiedzieć, ile pozytywnych wyników jest dla niego dostępnych, i podzielić tę liczbę przez liczbę możliwych wyników. Ze względu na dwa proste przypadki opisane powyżej, bardzo naturalne jest, aby myśleć o wszystkich możliwych wynikach, takich jak liczba drzwi do wyboru, oraz o liczbie pozytywnych wyników, jak liczba drzwi, które kryją samochód. Biorąc pod uwagę to intuicyjne założenie, nawet jeśli gospodarz otworzy drzwi, aby odsłonić kozę po tym, jak zawodnik zgadnie, prawdopodobieństwo, że którekolwiek z drzwi zawierających samochód pozostanie 1/2.

W rzeczywistości prawdopodobieństwo rozpoznaje zestaw możliwych wyników większych niż trzy drzwi i rozpoznaje zestaw pozytywnych wyników, które są większe niż pojedyncze drzwi z samochodem. Przy prawidłowej analizie problemu gospodarz dostarcza zawodnikowi nowe informacje, stawiając nowe pytanie, na które należy odpowiedzieć: jakie jest prawdopodobieństwo, że moje pierwotne przypuszczenie jest takie, że nowe informacje dostarczone przez gospodarza są wystarczające do poinformowania mnie o poprawności drzwi? Odpowiadając na to pytanie, zestaw pozytywnych wyników i zestaw możliwych wyników nie są namacalnymi drzwiami i samochodami, ale raczej abstrakcyjnymi układami kóz i samochodów. Trzy możliwe wyniki to trzy możliwe ustawienia dwóch kóz i jednego samochodu za trzema drzwiami. Dwa pozytywne wyniki to dwa możliwe ustalenia, w których pierwsze przypuszczenie zawodnika jest fałszywe. W każdym z tych dwóch układów informacje podane przez gospodarza (jedno z dwóch pozostałych drzwi jest puste) jest wystarczające, aby zawodnik mógł określić drzwi, które kryją samochód.

Podsumowując:

Mamy tendencję do szukania prostego mapowania pomiędzy fizycznymi przejawami naszych wyborów (drzwi i samochody) a liczbą możliwych wyników i pożądanych wyników w kwestii prawdopodobieństwa. Działa to dobrze w przypadkach, gdy zawodnik nie otrzymuje żadnych nowych informacji. Jeśli jednak uczestnik otrzyma więcej informacji (tj. Jedno z drzwi, których nie wybrałeś, z pewnością nie jest samochodem), to mapowanie się psuje i poprawne pytanie, które należy zadać, jest bardziej abstrakcyjne.

Uważam, że ludzie uważają to rozwiązanie za bardziej intuicyjne, jeśli zmienisz je na 100 drzwi, zamykając pierwsze, drugie, na 98 drzwi. Podobnie dla 50 drzwi itp.

Aby odpowiedzieć na pierwotne pytanie : nasza intuicja zawodzi z powodu narracji. Opowiadając historię w tej samej kolejności co scenariusz telewizyjny, jesteśmy zdezorientowani. Jest znacznie łatwiej, jeśli pomyślimy o tym, co się wydarzy z wyprzedzeniem. Quiz-master ujawni kozę, więc naszą najlepszą szansą jest wybranie drzwi z kozą, a następnie zmiana. Fabuła kładzie duży nacisk na straty spowodowane naszym działaniem w tej jednej z trzech szans, że wybramy samochód.

Oryginalna odpowiedź:

Naszym celem jest wyeliminowanie obu kóz. Robimy to, sami zaznaczając jednego kozła. Quizmaster jest następnie zmuszony do wyboru między ujawnieniem samochodu lub innej kozy. Ujawnienie samochodu nie wchodzi w rachubę, więc quizmaster ujawni i wyeliminuje jedną kozę, o której nie wiedzieliśmy. Następnie przełączamy się na pozostałe drzwi, eliminując w ten sposób kozę, którą oznaczyliśmy naszym pierwszym wyborem, i zdobywamy samochód.

Ta strategia kończy się niepowodzeniem tylko wtedy, gdy nie oznaczymy kozła, ale samochód. Ale to mało prawdopodobne: są dwie kozy i tylko jeden samochód.

Mamy więc szansę 2 na 3, aby wygrać samochód.

Odpowiedź nie brzmi: „oczywiście TAK!” Prawidłowa odpowiedź brzmi: „Nie wiem, czy możesz być bardziej szczegółowy?”

Jedynym powodem, dla którego uważasz, że jest to poprawne, jest to, że Marliyn vos Savant tak powiedziała. Jej oryginalna odpowiedź na to pytanie (choć pytanie było przed nią powszechnie znane) pojawiło się w magazynie Parade 9 września 1990 r . napisała, że ​​„poprawną” odpowiedzią na to pytanie była zmiana drzwi, ponieważ zmiana drzwi dawała większe prawdopodobieństwo wygrania samochodu (2/3 zamiast 1/3). Otrzymała wiele odpowiedzi od doktorów matematyki i innych inteligentnych ludzi, którzy twierdzili, że się myliła (choć wiele z nich też było niepoprawnych).

Załóżmy, że bierzesz udział w teleturnieju i masz do wyboru trzy drzwi. Za jednymi drzwiami jest samochód, za innymi kozy. Ty wybierasz drzwi, powiedz nr 1, a gospodarz, który wie, co jest za drzwiami, otwiera kolejne drzwi, powiedz nr 3 , które ma kozę. Mówi do ciebie: „Czy chcesz wybrać drzwi nr 2?” Czy przewagę ma zmiana drzwi? - Craig F. Whitaker Columbia, Maryland

Pogrubiłem ważną część tego logicznego pytania. W tym stwierdzeniu dwuznaczne jest:

Czy Monty Hall zawsze otwiera drzwi? (Jaka byłaby dla ciebie korzyść zmiana drzwi, gdyby otworzył tylko drzwi przegrywające, kiedy wybrałeś drzwi zwycięskie? Odpowiedź : Nie)

Czy Monty Hall zawsze otwiera przegrywające drzwi? (The określa wątpliwości, że on wie, gdzie samochód jest, i to przede wszystkim czas pokazał kozę za jeden. Jakie byłyby szanse, gdyby przypadkowo otworzył czyli Monty Spadek pytanie drzwi? Lub co jeśli czasem zdecyduje się pokazać wygranej drzwi .)

Czy Monty Hall zawsze otwiera drzwi, których nie wybrałeś ?

Podstawy tej łamigłówki zostały powtórzone więcej niż jeden raz i wiele razy nie są one wystarczająco dobrze określone, aby dać „poprawną” odpowiedź 2/3.

Sklepikarz mówi, że ma do pokazania dwa nowe niemowlęta, ale nie wie, czy to mężczyzna, kobieta czy para. Mówisz jej, że chcesz tylko mężczyzny, a ona dzwoni do faceta, który daje im kąpiel. „Czy przynajmniej jeden to mężczyzna?” pyta go. "Tak!" informuje cię z uśmiechem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten drugi jest mężczyzną? - Stephen I. Geller, Pasadena, Kalifornia

Czy ten facet spojrzał na oba psy, zanim odpowiedział „Tak”, czy też wybrał przypadkowego psa i odkrył, że jest to samiec, a następnie odpowiedział „Tak”.

Powiedz, że każda kobieta i mężczyzna (którzy nie są ze sobą związani) ma dwoje dzieci. Wiemy, że co najmniej jedno dziecko kobiety jest chłopcem, a najstarsze dziecko mężczyzny to chłopiec. Czy możesz wyjaśnić, dlaczego szanse, że kobieta ma dwóch chłopców, nie są równe szansom, że mężczyzna ma dwóch chłopców? Mój nauczyciel algebry podkreśla, że ​​prawdopodobieństwo jest większe, że mężczyzna ma dwóch chłopców, ale myślę, że szanse mogą być takie same. Co myślisz?

Skąd wiemy, że kobiety mają co najmniej jednego chłopca? Czy któregoś dnia obejrzeliśmy płot i zobaczyliśmy jeden z nich? ( Odpowiedź: 50%, tak samo jak mężczyzna )

Pytanie nawet potknęło naszego własnego Jeffa Atwooda . On postawił to pytanie :

Powiedzmy hipotetycznie, że spotkałeś kogoś, kto powiedział ci, że ma dwoje dzieci, a jednym z nich jest dziewczyna. Jakie są szanse, że dana osoba ma chłopca i dziewczynkę?

Jeff dalej twierdzi, że było to proste pytanie, zadane prostym językiem i odrzuca zastrzeżenia niektórych, którzy twierdzą, że pytanie jest niepoprawnie sformułowane, jeśli chcesz uzyskać odpowiedź 2/3.

Co ważniejsze, dlatego kobieta zgłosiła się na ochotnika do tej informacji. Gdyby mówiła tak, jak zwykli ludzie, kiedy ktoś mówi: „jedna z nich jest dziewczynką”, nieuchronnie druga to chłopiec. Jeśli mamy założyć, że jest to logiczne pytanie, z zamiarem wyrzucenia nas w górę, powinniśmy zapytać, czy pytanie jest jaśniej zdefiniowane. Czy kobieta zgłosiła się na ochotnika do seksu jednego ze swoich losowo wybranych dzieci, czy też mówi o zestawie dwojga swoich dzieci?

Oczywiste jest, że pytanie jest źle sformułowane, ale ludzie nie zdają sobie z tego sprawy. Kiedy zadawane są podobne pytania, gdzie szanse na zmianę są znacznie większe, ludzie albo zdają sobie sprawę, że to musi być podstęp (i kwestionuje motyw gospodarza), albo uzyskują „poprawną” odpowiedź zmiany, tak jak w przypadku pytania stu drzwi . Jest to dodatkowo wspierane przez fakt, że lekarze zapytani o prawdopodobieństwo wystąpienia określonej choroby u kobiety po pozytywnym wyniku testu (muszą ustalić, czy ona ma chorobę, czy jest to wynik fałszywie dodatni), lepiej przychodzą do poprawna odpowiedź, w zależności od tego, jak sformułowane jest pytanie. Jest wspaniały TED Talk, który w połowie omawia tę właśnie sprawę.

Opisał prawdopodobieństwo związane z testem na raka piersi: 1% przebadanych kobiet cierpi na tę chorobę, a test jest w 90 procentach dokładny, z 9% fałszywie dodatnim wynikiem. Mając te wszystkie informacje, co powiesz kobiecie, która pozytywnie ocenia prawdopodobieństwo choroby?

Jeśli to pomaga, oto to samo pytanie sformułowane w inny sposób:

100 na 10 000 kobiet w wieku czterdziestu lat uczestniczących w rutynowych badaniach przesiewowych ma raka piersi. 90 na 100 kobiet z rakiem piersi uzyska pozytywną mammografię. 891 z 9 900 kobiet bez raka piersi również otrzyma pozytywną mammografię. Jeśli 10 000 kobiet w tej grupie wiekowej zostanie poddanych rutynowym badaniom przesiewowym, to jaki procent kobiet z pozytywnymi wynikami mammografii faktycznie będzie miał raka piersi?

Zmodyfikowałbym nieco to, co powiedział Graham Cookson. Myślę, że naprawdę istotną rzeczą, którą ludzie przeoczają, nie jest ich pierwszy wybór, ale wybór gospodarza i założenie, że gospodarz upewnił się, że nie ujawni samochodu.

W rzeczywistości, kiedy omawiam ten problem na zajęciach, przedstawiam go częściowo jako studium przypadku, wyjaśniając swoje założenia. Z korzyścią dla ciebie jest zmiana, jeśli gospodarz upewnia się tylko, że ujawni kozę . Z drugiej strony, jeśli gospodarz wybierał losowo między drzwiami 2 i 3 i akurat odkrył kozę, zmiana nie jest korzystna.

(Oczywiście praktycznym rezultatem jest to, że jeśli nie znasz strategii gospodarza, i tak powinieneś się zmienić).

Nie daje to ogólnej zasady, ale myślę, że jednym z powodów, dla których jest to trudna łamigłówka, jest to, że nasza intuicja nie radzi sobie zbyt dobrze z prawdopodobieństwem warunkowym. Istnieje wiele innych zagadek prawdopodobieństwa, które grają na tym samym zjawisku . Ponieważ prowadzę do mojego bloga, oto post specjalnie na Monty Hall .

Zgadzam się, że uczniowie uważają ten problem za bardzo trudny. Zazwyczaj dostaję odpowiedź, że po pokazaniu kozy istnieje 50:50 szansa na zdobycie samochodu, więc dlaczego to ma znaczenie? Wydaje się, że studenci rozwiedli swój pierwszy wybór od decyzji, o którą proszeni są teraz, tzn. Postrzegają te dwa działania jako niezależne. Przypominam im, że początkowo dwukrotnie częściej wybierali niewłaściwe drzwi, dlatego lepiej je zamieniać.

W ostatnich latach zacząłem grać w szkło i pomaga to uczniom lepiej zrozumieć problem. Używam trzech środkowych tekturowych rolek toaletowych, w dwóch z nich znajdują się spinacze do papieru, aw trzecim jest banknot 5 funtów.

Uważam, że bardziej kwestia logiki niż trudności z prawdopodobieństwem sprawia, że ​​rozwiązanie Monty Hall jest zaskakujące. Rozważ następujący opis problemu.

Przed pójściem do programu telewizyjnego decydujesz w domu, czy zamierzasz zmienić drzwi lub trzymać się pierwszego wyboru, niezależnie od tego, co wydarzy się podczas programu. Oznacza to, że przed rozpoczęciem gry wybierasz między strategiami „Zostań” lub „Przełącz”. Przy wyborze strategii nie ma wątpliwości. Nie ma jeszcze potrzeby wprowadzania prawdopodobieństw.

Rozumiemy różnice między dwiema strategiami. Znowu nie będziemy rozmawiać o prawdopodobieństwach.

W ramach strategii „Stay” wygrywasz wtedy i tylko wtedy, gdy twoim pierwszym wyborem są „dobre” drzwi. Z drugiej strony, w strategii „Przełącz” wygrywasz wtedy i tylko wtedy, gdy twój pierwszy wybór to „złe” drzwi. Zastanów się przez chwilę nad tymi dwoma przypadkami, a zwłaszcza z drugim. Ponownie zauważ, że nie rozmawialiśmy jeszcze o prawdopodobieństwach. To tylko kwestia logiki.

Porozmawiajmy teraz o prawdopodobieństwach. Zakładając, że początkowo przypisałeś prawdopodobieństwo do nagrody znajdującej się za każdymi drzwiami, jasne jest, że w strategii „Stay” twoje prawdopodobieństwo wygranej wynosi (jest to prawdopodobieństwo wyboru „dobrych” drzwi). Jednak w strategii „Switch” twoje prawdopodobieństwo wygranej wynosi (jest to prawdopodobieństwo wyboru „złych” drzwi). I dlatego strategia „Switch” jest lepsza.$1/3$$1/3$$2/3$

PS W 1990 roku prof. Larry Denenberg wysłał list do prowadzącego program telewizyjny Monty Hall z prośbą o zgodę na wykorzystanie w książce swojego nazwiska w opisie znanego problemu trzech drzwi.

Oto obraz części odpowiedzi Monty'ego na ten list, w którym możemy przeczytać:

„tak jak widzę, nie miałoby to żadnego znaczenia po tym, jak gracz wybrał drzwi A, a po pokazaniu drzwi C - dlaczego miałby wtedy próbować przejść do drzwi B?”

Dlatego możemy spokojnie stwierdzić, że Monty Hall (sam człowiek) nie zrozumiał problemu Monty Hall!

Nie trzeba wiedzieć o prawdopodobieństwie warunkowym ani twierdzeniu Bayesa, aby dowiedzieć się, że najlepiej zmienić swoją odpowiedź.

Załóżmy, że początkowo wybierasz Drzwi 1. Prawdopodobieństwo zwycięstwa Drzwi 1 wynosi 1/3, a prawdopodobieństwo Zwycięstwa Drzwi 2 lub 3 wynosi 2/3. Jeśli według wyboru gospodarza Drzwi 2 są przegrane, prawdopodobieństwo, że 2 lub 3 wygra, wynosi nadal 2/3. Ale ponieważ drzwi 2 są przegrane, drzwi 3 muszą mieć prawdopodobieństwo 2/3 wygranej.

Lekcja? Sformułuj ponownie pytanie i poszukaj strategii zamiast patrzeć na sytuację. Obróć rzecz na głowę, cofnij ...

Ludzie na ogół źle pracują z przypadkiem. Zwierzęta zwykle radzą sobie lepiej, gdy odkryją, że albo A albo B dają średnio wyższą wypłatę ; trzymają się wyboru z lepszą średnią. (nie przygotuj referencji - przepraszam.)

Pierwszą rzeczą, którą ludzie kuszą, widząc dystrybucję 80/20, jest rozłożenie swoich wyborów w celu dopasowania do wypłaty: 80% na lepszy wybór i 20% na inny. Spowoduje to wypłatę w wysokości 68%.

Znów istnieje słuszny scenariusz, w którym ludzie wybierają taką strategię: jeśli szanse zmieniają się w czasie, istnieje dobry powód, aby wysłać sondę i spróbować wyboru z mniejszą szansą na sukces.

Ważna część statystyki matematycznej faktycznie bada zachowanie procesów w celu ustalenia, czy są one losowe, czy nie.

Myślę, że dzieje się kilka rzeczy.

Po pierwsze, konfiguracja wymaga więcej informacji, niż rozwiązanie bierze pod uwagę. To jest teleturniej, a gospodarz pyta nas, czy chcemy się zmienić.

Jeśli zakładasz, że gospodarz nie chce, aby program wydał dodatkowe pieniądze (co jest rozsądne), możesz założyć, że spróbuje cię przekonać do zmiany, jeśli masz odpowiednie drzwi.

Jest to zdrowy sposób patrzenia na problem, który może dezorientować ludzi, jednak myślę, że głównym problemem nie jest zrozumienie, w jaki sposób nowy wybór różni się od pierwszego (co jest bardziej wyraźne w przypadku drzwi 100).

Zacytuję ten świetny artykuł o lesswrong:

Możliwe hipotezy to Samochód w drzwiach 1, Samochód w drzwiach 2 i Samochód w drzwiach 3; przed rozpoczęciem gry nie ma powodu, aby sądzić, że którekolwiek z trzech drzwi ma większe szanse na zatrzymanie samochodu, dlatego każda z tych hipotez ma wcześniejsze prawdopodobieństwo 1/3.

Gra rozpoczyna się od naszego wyboru drzwi. To samo w sobie nie jest oczywiście dowodem na to, gdzie znajduje się samochód - zakładamy, że nie mamy żadnych szczegółowych informacji na ten temat, poza tym, że znajduje się on za jednymi z drzwi (to jest sedno gry!). Gdy to zrobimy, będziemy mieli okazję „przeprowadzić test”, aby uzyskać „dane eksperymentalne”: gospodarz wykona zadanie otwarcia drzwi, które z pewnością zawierają kozę. Będziemy reprezentować wynik Host otworzy drzwi 1 trójkątem, wynik Host otworzy drzwi 2 kwadratem, a wynik Host otworzy drzwi 3 pięciokątem - w ten sposób precyzyjniej rzeźbiąc przestrzeń naszej hipotezy w możliwościach takich jak „Samochód w drzwiach 1 i host otwiera drzwi 2 ”,„ samochód w drzwiach 1 i host otwiera drzwi 3 ”itp .:

Zanim dokonamy wstępnego wyboru drzwi, gospodarz równie dobrze może otworzyć dowolne z drzwi zawierających kozę. Tak więc na początku gry prawdopodobieństwo każdej hipotezy o formie „Samochód w drzwiach X i host otwiera drzwi Y” ma prawdopodobieństwo 1/6, jak pokazano. Jak na razie dobrze; wszystko jest nadal idealnie poprawne.

Teraz wybieramy drzwi; powiedzmy, że wybraliśmy Drzwi 2. Gospodarz następnie otwiera Drzwi 1 lub Drzwi 3, aby odsłonić kozę. Załóżmy, że otwiera drzwi 1; nasz diagram wygląda teraz tak:

Ale to pokazuje równe prawdopodobieństwo, że samochód będzie za drzwiami 2 i drzwiami 3!

Złapałeś błąd?

Proszę bardzo, w ten sposób zawodzi was intuicja.

Sprawdź prawidłowe rozwiązanie w pełnym artykule . Obejmuje:

• Wyjaśnienie twierdzenia Bayesa
• Niewłaściwe podejście Monty Hall
• Właściwe podejście Monty Hall
• Więcej problemów ...

Z mojego doświadczenia wynika, że ​​ludzie nie przechodzą automatycznie od słów do matematyki. Zwykle, kiedy go prezentuję, ludzie się mylą. Wynoszę jednak talię 52 kart i wybieram jedną. Następnie ujawniam pięćdziesiąt kart i pytam, czy chcą się zamienić. Większość ludzi to rozumie. Intuicyjnie wiedzą, że prawdopodobnie dostali niewłaściwą kartę, gdy jest ich 52, a kiedy widzą 50 z nich, decyzja jest dość prosta. Nie sądzę, że jest to tyle paradoks, co tendencja do wyłączania umysłu z problemów matematycznych.