Jaka jest oczekiwana wartość logarytmu rozkładu gamma?

Jeśli oczekiwana wartość to , jaka jest oczekiwana wartość ? Czy można to obliczyć analitycznie? $\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta)$ $\frac{\alpha}{\beta}$ $\log(\mathsf{Gamma}(\alpha, \beta))$

Parametryzacja, której używam, jest kształtem.

expected-value gamma-distribution

— Stefano Vespucci
źródło

Jeśli , to zgodnie z mathStatica / Mathematica, + PolyGamma [a], gdzie PolyGamma oznacza funkcję

X \sim Gamma (a, b)

$X \sim \text{Gamma}(a,b)$

E [\log (X)] = \log (b)

$E[ \log(X) ] = \log(b)$

— digammy

Powinienem dodać, że nie podajesz formatu pdf swojej zmiennej Gamma, a ponieważ zgłaszasz, że średnia to (podczas gdy dla mnie byłoby to , wygląda na to, że używasz innej notacji niż ja, gdzie twoja

α / β

$\alpha/\beta$

a b

$a b$

β = 1 / b

$\beta= 1/b$

— wilki

Prawda, przepraszam Parametryzacja, której używam, jest kształtem. Spróbuję znaleźć to dla tej parametryzacji . Czy możesz zasugerować zapytanie dotyczące Mathematica / WolframAlpha?

\frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x}

${\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}$

— Stefano Vespucci,

Zobacz także Johnson, Lotz i Balakrishna (1994) ciągłe rozkłady jednowymiarowe Vol 1 2nd Ed. s. 337-349.

— Björn,

Zobacz także Wikipedia: Gamma Distribution # Logarytmiczne oczekiwanie i wariancja

— Glen_b -Reinstate Monica

Odpowiedzi:

Ten (może zaskakujący) można wykonać za pomocą prostych operacji elementarnych (wykorzystując ulubioną sztuczkę Richarda Feynmana polegającą na odróżnianiu pod znakiem integralnym parametru).

Zakładamy, że ma rozkład i chcemy znaleźć oczekiwanie Po pierwsze, ponieważ jest parametrem skali, jego efektem będzie przesunięcie logarytmu o (Jeśli użyjesz jako parametru szybkości , tak jak w pytaniu, spowoduje to przesunięcie logarytmu o ) To pozwala nam pracować z przypadkiem $X$ $\Gamma(\alpha,\beta)$ $Y=\log(X).$ $\beta$ $\log\beta.$ $\beta$ $-\log\beta.$ $\beta=1.$

Po tym uproszczeniu element prawdopodobieństwa wynosi $X$

f_{X} (x) = \frac{1}{Γ (α)} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x}

$f_X(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}$

gdzie jest stałą normalizującą $\Gamma(\alpha)$

Γ (α) = \int_{0}^{\infty} x^{α} e^{- x} \frac{d x}{x} .

$\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \frac{\mathrm{d}x}{x}.$

Podstawienie co pociąga za sobą daje element prawdopodobieństwa , $x=e^y,$ $\mathrm{d}x/x = \mathrm{d}y,$ $Y$

f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} e^{α y - e^{y}} d y .

$f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.$

Możliwe wartości mieszczą się teraz we wszystkich liczbach rzeczywistych $Y$ $\mathbb{R}.$

Ponieważ musi integrować się z jednością, otrzymujemy (trywialnie) $f_Y$

\begin{matrix} (1) & Γ (α) = \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y . \end{matrix}

$\Gamma(\alpha) = \int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y.\tag{1}$

Zauważ, że to funkcjaŁatwe obliczenia dają $f_Y(y)$ $\alpha.$

\frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y = y e^{α y - e^{y}} d y = Γ (α) y f_{Y} (y) .

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = y\, e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y = \Gamma(\alpha) y\,f_Y(y).$

Następny krok wykorzystuje relację uzyskaną przez podzielenie obu stron tej tożsamości przez odsłaniając tym samym przedmiot, który musimy zintegrować, aby znaleźć oczekiwanie; mianowicie $\Gamma(\alpha),$ $y f_Y(y):$

\begin{aligned} E (Y) & = \int_{R} y f_{Y} (y) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{R} \frac{d}{d α} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} \int_{R} e^{α y - e^{y}} d y \\ = \frac{1}{Γ (α)} \frac{d}{d α} Γ (α) \\ = \frac{d}{d α} \log Γ (α) \\ = ψ (α), \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \int_\mathbb{R} y\, f_Y(y) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_\mathbb{R} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\int_\mathbb{R} e^{\alpha y - e^y} \mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\Gamma(\alpha)\\ &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\log\Gamma(\alpha)\\ &=\psi(\alpha), }$

logarytmiczna pochodna funkcji gamma (aka „ polygamma ”). Całka została obliczona przy użyciu tożsamości $(1).$

Ponowne wprowadzenie współczynnika pokazuje ogólny wynik $\beta$

E (\log (X)) = \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = \log\beta + \psi(\alpha)$

do parametryzacji skali (gdzie funkcja gęstości zależy od ) lub $x/\beta$

E (\log (X)) = - \log β + ψ (α)

$\mathbb{E}(\log(X)) = -\log\beta + \psi(\alpha)$

do parametryzacji szybkości (gdzie funkcja gęstości zależy od ). $x\beta$

— Whuber
źródło

Z funkcją poligammy masz na myśli, który porządek (np. 0,1) jest digammą (jak wskazał @wolfies), trigamma?

— Stefano Vespucci

@Stefano Mam na myśli logarytmiczną pochodną gamma, jak powiedziano. Oznacza to, że

ψ (z) = Γ^{'} (z) / Γ (z) .

$\psi(z) = \Gamma^\prime(z)/\Gamma(z).$

— whuber

Odpowiedź @whuber jest całkiem fajna; Zasadniczo powtórzę jego odpowiedź w bardziej ogólnej formie, która lepiej łączy (moim zdaniem) z teorią statystyczną i która wyjaśnia moc całej techniki.

Rozważ rodzinę rozkładów które składają się na wykładniczą rodzinę , co oznacza, że przyjmują gęstość w odniesieniu do niektórych popularnych miar dominujących (zwykle miara Lebesgue'a lub liczenia). Rozróżniając obie strony w odniesieniu do dochodzimy do równania wyniku $\{F_\theta : \theta \in \Theta\}$

f_{θ} (x) = \exp {s (x) θ - A (θ) + h (x)}

$f_\theta(x) = \exp\left\{s(x)\theta - A(\theta) + h(x)\right\}$

\int f_{θ} (x) d x = 1

$\int f_\theta(x) \ dx = 1$

θ

$\theta$

\begin{matrix} (†) & \int f_{θ}^{'} (x) = \int \frac{f_{θ}^{'} (x)}{f_{θ} (x)} f_{θ} (x) = \int u_{θ} (x) f_{θ} (x) d x = 0 \end{matrix}

$\int f'_\theta(x) = \int \frac{f'_\theta(x)}{f_\theta(x)} f_\theta(x) = \int u_\theta(x) \, f_\theta(x) \ dx = 0 \tag{$\dagger$}$ gdzie

u_{θ} (x) = \frac{d}{d θ} \log f_{θ} (x)

$u_\theta(x) = \frac d {d\theta} \log f_\theta(x)$ jestfunkcją punktacjii zdefiniowaliśmy

f_{θ}^{'} (x) = \frac{d}{d θ} f_{θ} (x)

$f'_\theta(x) = \frac{d}{d\theta} f_\theta(x)$ . W przypadku rodziny wykładniczej mamy

u_{θ} (x) = s (x) - A^{'} (θ)

$u_\theta(x) = s(x) - A'(\theta)$ gdzie

A^{'} (θ) = \frac{d}{d θ} A (θ)

$A'(\theta) = \frac d {d\theta} A(\theta)$ ; jest to czasami nazywanefunkcją kumulacyjną, ponieważ jest wyraźnie ściśle związane z funkcją generującą kumulację. Z

(†)

$(\dagger)$ wynika, że

E_{θ} [s (X)] = A^{'} (θ)

$E_\theta[s(X)] = A'(\theta)$ .

Teraz pokazujemy, że to pomaga nam obliczyć oczekiwania. Możemy zapisać gęstość gamma ze stałym $\beta$ jako wykładniczą rodziną

f_{θ} (x) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- β x} = \exp {\log (x) α + α \log β - \log Γ (α) - β x} .

$f_\theta(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} = \exp\left\{\log(x) \alpha + \alpha \log \beta - \log \Gamma(\alpha) - \beta x \right\}.$ $\alpha$

s (x) = \log x

$s(x) = \log x$

A (α) = \log Γ (α) - α \log β

$A(\alpha) = \log \Gamma(\alpha) - \alpha \log \beta$

\frac{d}{d α} A (α)

$\frac d {d\alpha} A(\alpha)$

E [\log X] = ψ (α) - \log β .

$E[\log X] = \psi(\alpha) - \log \beta.$

— chłopak
źródło

+1 Dziękujemy za zwrócenie uwagi na to miłe uogólnienie.

— whuber