Przykład nieujemnego rozkładu dyskretnego, w którym średnia (lub inny moment) nie istnieje?

Pracowałem trochę w scipy i nadeszła rozmowa z członkiem podstawowej grupy scipy, czy nieujemna dyskretna zmienna losowa może mieć nieokreślony moment. Myślę, że ma rację, ale nie ma pod ręką dowodu. Czy ktoś może pokazać / udowodnić to twierdzenie? (lub jeśli to twierdzenie nie jest prawdziwe, należy je odrzucić)

Nie mam przydatnego przykładu, jeśli dyskretna zmienna losowa ma wsparcie dla ale wydaje się, że jakaś dyskretna wersja rozkładu Cauchy'ego powinna służyć jako przykład, aby uzyskać nieokreślony moment. Warunek braku negatywności (być może w tym ) wydaje się sprawiać, że problem jest trudny (przynajmniej dla mnie).$\mathbb{Z}$$0$

Niech CDF wynosić przy liczbach całkowitych stała kawałek w każdym innym miejscu i pod warunkiem spełnienia wszystkich kryteriów bycia CDF. Oczekiwanie jest$F$$1-1/n$$n=1,2,\ldots,$

$$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

który się rozbiera. W tym sensie pierwszy moment (a zatem wszystkie wyższe momenty) jest nieskończony. (Zobacz uwagi na końcu do dalszego opracowania.)

---

Jeśli czujesz się niekomfortowo z tą notacją, zauważ, że dla$n=1,2,3,\ldots,$

$${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$$

Definiuje to rozkład prawdopodobieństwa, ponieważ każdy termin jest dodatni i

$$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$$

Oczekiwanie jest

$$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

który się rozbiera.

Ten sposób wyrażenia odpowiedzi wyjaśnia, że wszystkie rozwiązania są uzyskiwane przez tak rozbieżne serie. Rzeczywiście, jeśli chcesz, aby rozkład był obsługiwany w pewnym podzbiorze wartości dodatnich z prawdopodobieństwami sumując do jedności, to dla oczekiwań, aby rozdzielić serię co to wyraża, mianowicie$x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$$p_1, p_2, \ldots$

$$(a_n) = (x_n p_n),$$

muszą mieć rozbieżne kwoty częściowe.

I odwrotnie, każda rozbieżna seria liczb nieujemnych jest powiązana z wieloma dyskretnymi rozkładami dodatnimi o rozbieżnych oczekiwaniach. $(a_n)$ Na przykład, biorąc pod uwagę możesz zastosować następujący algorytm do określenia sekwencji i . Rozpocznij od ustawienia i dla Zdefiniuj jako zbiór wszystkich które powstają w ten sposób, jego elementy jako i zdefiniuj rozkład prawdopodobieństwa na przez$(a_n)$$(x_n)$$(p_n)$$q_n = 2^{-n}$$y_n = 2^n a_n$$n=1, 2, \ldots.$$\Omega$$y_n$$\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$$\Omega$

$$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$$

Działa to, ponieważ suma jest równa sumie która wynosi a ma co najwyżej policzalną liczbę dodatnich elementów.$p_n$$q_n,$$1,$$\Omega$

Na przykład szereg oczywiście się różni. Algorytm daje$(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

$$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$$

Zatem

$$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$$

jest zbiorem nieparzystych dodatnich mocy i$2$

$$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$$

---

O nieskończonych i nieistniejących chwilach

Kiedy wszystkie wartości są dodatnie, nie ma czegoś takiego jak „niezdefiniowany” moment: wszystkie momenty istnieją, ale mogą być nieskończone w sensie rozbieżnej sumy (lub całki), jak pokazano na początku tej odpowiedzi.

Zasadniczo wszystkie momenty są zdefiniowane dla dodatnich zmiennych losowych, ponieważ suma lub całka, która je wyraża, albo zbiega się absolutnie, albo rozbieżnie (jest „nieskończona”). W przeciwieństwie do tego, momenty mogą stać się niezdefiniowane dla zmiennych, które przyjmują wartości dodatnie i ujemne , ponieważ - z definicji całki Lebesgue'a - moment jest różnicą między momentem części dodatniej a momentem wartości bezwzględnej części ujemnej. Jeśli oba są nieskończone, zbieżność nie jest absolutna i napotykasz problem odejmowania nieskończoności od nieskończoności: to nie istnieje.

Oto słynny przykład: Niech przyjmie wartość z prawdopodobieństwem , dla każdej liczby całkowitej . Następnie przyjmuje wartości (dodatnie) liczb całkowitych dodatnich; masa całkowita to , ale jej oczekiwanie to Ta losowa zmienna powstaje w paradoksie petersburskim .$X$$2^k$$2^{-k}$$k\ge1$$X$$\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$

$$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$$ $X$

1. Rozkład zeta jest dość dobrze znanym rozkładem dyskretnym na dodatnich liczbach całkowitych, który nie ma skończonej średniej (dla ).$1<\theta\leq 2$

   $P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

   gdzie stała normalizująca dotyczy , funkcja zeta Riemanna$\zeta(\cdot)$

   (edytuj: Case jest bardzo podobny do odpowiedzi Whubera)$\theta=2$

   Innym rozkładem o podobnym zachowaniu ogona jest rozkład Yule-Simon .

2. Innym przykładem może być dwumianowy rozkład beta-ujemny z :$0<\alpha\leq 1$

   $P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

jakaś dyskretna wersja dystrybucji Cauchy'ego

Tak, jeśli weźmiesz jako średnią wartość rozkładu Cauchy'ego w przedziale wokół , to wyraźnie jego moment zerowy jest taki sam jak rozkład Cauchy'ego, a jego pierwszy moment asymptotycznie zbliża się do pierwszego momentu Rozkład Cauchy'ego. Jeśli chodzi o „interwał wokół ”, tak naprawdę nie ma znaczenia, jak to zdefiniujesz; weź , , , vel cetera , i zadziała. Dla dodatnich liczb całkowitych możesz również wziąć . Moment zerowy sumuje się do jednego, a pierwszy moment jest sumą , która jest rozbieżna.$p(n)$$n$$n$$(n-1,n]$$[n,n+1)$$[n-.5,n+.5)$$p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$$\frac6{n\pi^2}$

I faktycznie dla dowolnego wielomianu istnieje takie , że sumuje się do 1. Jeśli weźmiemy wtedy ty moment, gdzie jest rzędem , to się rozejdzie.$p(n)$$c$$\frac c {p(n)}$$k$$k$$p(n)$