Funkcje charakterystyczne mogą sprawić, że obliczenia obejmujące sumy i różnice zmiennych losowych będą naprawdę łatwe. Mathematica ma wiele funkcji do pracy z rozkładami statystycznymi, w tym wbudowaną funkcję przekształcania rozkładu w jego funkcję charakterystyczną.
Chciałbym to zilustrować dwoma konkretnymi przykładami: (1) Załóżmy, że chcesz określić wyniki rzutu zbiorem kości o różnej liczbie boków, np. Rzuć dwiema sześciościennymi kostkami plus jedną ośmiościenną kością (tj. , 2d6 + d8 )? Lub (2) załóżmy, że chciałeś znaleźć różnicę dwóch rzutów kostką (np. D6-d6 )?
X faφX( t )faφX( t ) = F.{ f} ( t ) = E[ ei t X]
XYfasolhX+ Yh ( n ) = ( f∗ g) ( n ) = ∑∞m = - ∞fa( m ) g( n - m )
Możemy użyć właściwości splotu Transformacji Fouriera, aby przekształcić to prościej pod względem charakterystycznych funkcji:
φX+ Y( t )XYφX( t ) φY( t )
Ta funkcja Mathematica uczyni funkcję charakterystyczną dla matrycy jednostronnej:
MakeCf [s_]: =
Moduł [{Cf},
Cf: = CharacteristicFunction [DiscreteUniformDistribution [{1, s}],
t];
Cf]
PMf rozkładu można odzyskać z jego charakterystycznej funkcji, ponieważ transformaty Fouriera są odwracalne. Oto kod Mathematica, aby to zrobić:
RecoverPmf [Cf_]: =
Moduł [{F},
F [y_]: = Współczynnik Series [Cf /. t -> -I * Log [x], {x, 0, y}];
FA]
Kontynuując nasz przykład, niech F będzie pmf, które wynika z 2d6 + d8.
F := RecoverPmf[MakeCf[6]^2 MakeCf[8]]
62)⋅ 8 = 288S.= { 3 , … , 20 }20=2⋅6+8
In: = F / @ Range [3, 20]
Out = {1/288, 1/96, 1/48, 5/144, 5/96, 7/96, 13/144, 5/48, 1/9, 1/9, \
5/48, 13/144, 7/96, 5/96, 5/144, 1/48, 1/96, 1/288}
Jeśli chcesz poznać liczbę wyników, które sumują się do 10, oblicz
W: = 6 ^ 2 8 F [10]
Out = 30
XYfghX−Yh(n)=(f⋆g)(n)=∑∞m=−∞f(m)g(n+m)
Możemy użyć właściwości korelacji krzyżowej Transformacji Fouriera, aby przekształcić to prościej pod względem charakterystycznych funkcji:
φX−Y(t)X,YφX(t)φY(−t)
Tak więc, używając Mathematica, aby znaleźć pmf G z d6-d6:
G := RecoverPmf[MakeCf[6] (MakeCf[6] /. t -> -t)]
62=36S={−5,…,5}−5=1−66−1=5
W: = Zakres G / @ [-5, 5]
Out = {1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36}