Jakiego rozkładu użyć do modelowania czasu przed przybyciem pociągu?

Próbuję modelować niektóre dane dotyczące czasu przyjazdu pociągu. Chciałbym użyć dystrybucji, która przechwytuje „im dłużej czekam, tym bardziej prawdopodobne jest, że pociąg się pojawi” . Wydaje się, że taka dystrybucja powinna wyglądać jak CDF, więc P (przyjazd pociągu | czekał 60 minut) jest bliski 1. Jakiej dystrybucji należy tutaj zastosować?

Mnożenie dwóch prawdopodobieństw

Prawdopodobieństwo pierwszego przybycia w czasie od $t$ do $t+dt$ (czas oczekiwania) jest równe pomnożeniu

• prawdopodobieństwo, nadejściu pomiędzy $t$ i $t+dt$ (która może być związana z szybkością przylotu $s(t)$ w czasie $t$ )
• oraz prawdopodobieństwo braku przyjazdu przed czasem $t$ (lub w innym przypadku nie byłby to pierwszy).

Ten ostatni termin dotyczy:

$$P(n=0,t+dt) = (1-s(t)dt) P(n=0,t)$$

lub

$$\frac{\partial P(n=0,t)}{\partial t} = -s(t) P(n=0,t)$$

dający:

$$P(n=0,t) = e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

a rozkład prawdopodobieństwa dla czasów oczekiwania wynosi:

$$f(t) = s(t)e^{\int_0^t-s(t) dt}$$

Wyprowadzenie rozkładu skumulowanego.

Alternatywnie możesz użyć wyrażenia dla prawdopodobieństwa mniej niż jednego przybycia, pod warunkiem, że czas jest $t$

$$P(n<1|t) = F(n=0;t)$$

a prawdopodobieństwo przybycia między czasem $t$ i $t+dt$ jest równe pochodnej

$$f_{\text{arrival time}}(t) = - \frac{d}{d t} F(n=0 \vert t)$$

To podejście / metoda jest na przykład przydatna w uzyskiwaniu rozkładu gamma jako czasu oczekiwania na n-ty nadejście procesu Poissona. ( czas oczekiwania poissona-proces-następuje-rozkład gamma )

---

Dwa przykłady

Możesz to powiązać z paradoksem oczekiwania ( proszę wyjaśnić paradoks oczekiwania ).

• $s(t) = \lambda$

  $$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$

• Constant distribution: If the arrivals are occurring at a constant rate (such as trains arriving according to a fixed schedule), then the probability of an arrival, when a person has already been waiting for some time, is increasing. Say a train is supposed to arrive every $T$ minutes then the frequency, after already waiting $t$ minutes is $s(t) = 1/(T-t)$ and the pdf for the waiting time will be:

  $$f(t)= \frac{e^{\int_0^t -\frac{1}{T-t} dt}}{T-t} = \frac{1}{T}$$ which makes sense since every time between $0$ and $T$ should have equal probability to be the first arrival.

---

So it is this second case, with "then the probability of an arrival, when a person has already been waiting for some time is increasing", that relates to your question.

It might need some adjustments depending on your situation. With more information the probability $s(t) dt$ for a train to arrive at a certain moment might be a more complex function.

---

Written by StackExchangeStrike

The classical distribution to model waiting times is the exponential distribution.

The exponential distribution occurs naturally when describing the lengths of the inter-arrival times in a homogeneous Poisson process.