Jak zauważył Glen_b, jeśli autobusy przyjeżdżają co minut bez jakiejkolwiek niepewności , wiemy, że maksymalny możliwy czas oczekiwania wynosi 15 minut. Jeśli z naszej strony dotrzemy „losowo”, czujemy, że „średnio” będziemy czekać połowę maksymalnego możliwego czasu oczekiwania . Maksymalny możliwy czas oczekiwania jest tutaj równy maksymalnej możliwej długości między dwoma kolejnymi przylotami. Wskaż nasz czas oczekiwania W i maksymalną długość między dwoma kolejnymi przyjazdami autobusów R , i twierdzimy, że1515WR
E(W)=12R=152=7.5(1)
i mamy rację.
Ale nagle zostaje nam odebrana pewność i mówi się nam, że minut to obecnie średnia długość między dwoma przyjazdami autobusów. I wpadamy w „pułapkę myślenia intuicyjnego” i myślimy: „wystarczy tylko zastąpić R jego oczekiwaną wartością” i argumentujemy15R
mi( W.) = 12)mi( R ) = 152)= 7,5ŹLE(2)
Pierwszą wskazówką, że się mylimy, jest to, że nie jest „długością między dwoma kolejnymi przyjazdami autobusu”, jest „ maksymalną długością itp.”. W każdym razie mamy E ( R ) ≠ 15 .Rmi( R ) ≠ 15
Jak doszliśmy do równania ? Pomyśleliśmy: „czas oczekiwania może wynosić maksymalnie od 0 do 15. Przyjeżdżam z takim samym prawdopodobieństwem w każdym przypadku, więc„ wybieram ”losowo i z jednakowym prawdopodobieństwem wszystkie możliwe czasy oczekiwania. Stąd połowa maksymalnej długości między dwoma kolejnymi przyjazdami autobusów jest moja średni czas oczekiwania ”. I mamy rację.( 1 )015
Ale przez błędne wstawienie wartości do równania ( 2 ) nie odzwierciedla ona już naszego zachowania. Z 15 zamiast E ( R ) , równanie ( 2 ) mówi: „Wybieram losowo iz jednakowym prawdopodobieństwem wszystkie możliwe czasy oczekiwania, które są mniejsze lub równe średniej długości między dwoma kolejnymi przyjazdami autobusów ” - i tutaj jest nasza intuicyjna pomyłka leży, ponieważ nasze zachowanie się nie zmieniło - tak więc, przybywając losowo równomiernie, w rzeczywistości nadal „losowo i z jednakowym prawdopodobieństwem” wybieramy wszystkie możliwe czasy oczekiwania - ale „wszystkie możliwe czasy oczekiwania” nie są rejestrowane przez15( 2 )15mi( R )( 2 ) - zapomnieliśmy o prawidłowym ogonie rozkładu długości między dwoma kolejnymi przyjazdami autobusów. 15
Może więc powinniśmy obliczyć oczekiwaną wartość maksymalnej długości między dowolnymi dwoma kolejnymi przyjazdami autobusów, czy jest to właściwe rozwiązanie?
Tak, może być, ale : specyficzny „paradoks” idzie w parze ze szczególnym stochastycznym założeniem: że przyjazdy autobusów są modelowane przez wzorcowy proces Poissona, co oznacza, że w konsekwencji zakładamy, że czas między dowolne dwa kolejne przyjazdy autobusów odbywają się zgodnie z rozkładem wykładniczym. Oznaczają że długość i mamy, żeℓ
faℓ( ℓ ) = λ e- λ ℓ,λ = 1 / 15 ,mi( ℓ ) = 15
Jest to oczywiście przybliżone, ponieważ rozkład wykładniczy ma nieograniczone poparcie z prawej strony, co oznacza, że ściśle mówiąc „wszystkie możliwe czasy oczekiwania” obejmują, zgodnie z tym założeniem modelowania, większe i duże wielkości aż do „nieskończoności”, ale z znikającym prawdopodobieństwem .
Ale czekaj, wykładniczy jest bez pamięci : bez względu na to, w którym momencie dotrzemy , napotkamy tę samą zmienną losową , niezależnie od tego, co się działo wcześniej.
Biorąc pod uwagę to stochastyczne / dystrybucyjne założenie, każdy punkt w czasie jest częścią „przedziału między dwoma kolejnymi przyjazdami autobusów”, którego długość jest opisana przez ten sam rozkład prawdopodobieństwa z wartością oczekiwaną (nie wartością maksymalną) : „Jestem tutaj, jestem otoczona przerwą między dwoma przyjazdami autobusów. Niektóre z nich leżą w przeszłości, a niektóre w przyszłości, ale nie mam pojęcia, ile i ile, więc najlepiej mogę zapytać, jaka jest jego przewidywana długość - jaki będzie mój średni czas oczekiwania? ” - I niestety odpowiedź brzmi „ 15 ”. 1515