Właściwości dyskretnej zmiennej losowej

Mój kurs statystyki nauczył mnie, że dyskretna zmienna losowa ma skończoną liczbę opcji ... Nie zdawałem sobie z tego sprawy. Wydawało mi się, że jak zestaw liczb całkowitych może być nieskończony. Googlowanie i sprawdzanie kilku stron internetowych, w tym kilku z kursów uniwersyteckich, nie potwierdziło tego wyraźnie; jednak większość stron twierdzi, że dyskretne zmienne losowe są policzalne - przypuszczam, że to oznacza numerację końcową?

Oczywiste jest, że ciągłe zmienne losowe są nieskończone, nawet jeśli (większość?) Często są ograniczone.

Ale jeśli dyskretne zmienne losowe mają skończone możliwości, to czym jest nieskończony rozkład liczb całkowitych? Nie jest dyskretny ani ciągły? Czy pytanie jest dyskusyjne, ponieważ zmienne są albo ciągłe i (z definicji) nieskończone, albo nieciągłe i skończone?

random-variable discrete-data

— James
źródło

Powinieneś zapytać swój kurs statystyki o losowe zmienne geometryczne i Poissona

— prawdopodobieństwo jest

Jest online, więc opinie są ograniczone. Sugerujesz, że to trzeci (i czwarty?) Typ zmiennej, a nie tylko (!) Rozkłady?

— James

Rozkład nie jest zmienną losową - a ignorowanie tego rozróżnienia wielu wprowadziło w błąd. Piękne twierdzenie matematyki z początku XX wieku, twierdzenie o dekompozycji Lebesgue'a , pokazuje, jak wyobrazić sobie wszystkie funkcje dystrybucji złożone z trzech różnych rodzajów: „ciągłe” (które są dalej podzielone na absolutnie ciągłe i ciągłe, ale nie ac) i „dyskretne”. „

— whuber

obawiam się, że nie jest to dobry kurs

— Aksakal,

Na wszystkie odpowiedzi tutaj, dziękuję (choć niektóre są ponad moją głową, przyznam się). Prawdopodobnie powinienem odnieść się do tego, co wywołało to pytanie, ponieważ podczas jego przeglądu mogłem je zinterpretować niepoprawnie: pytanie prawda / fałsz stwierdzające „Dyskretna zmienna losowa może przyjmować skończoną liczbę różnych wartości” jest uważane za prawdziwe; z wyjaśnieniem, że stwierdzenie „jest jedną z kluczowych właściwości dyskretnej zmiennej losowej”. Gdybyśmy sondowali rolników, pytając, ile bydła posiadali, nie byłoby możliwe wcześniejsze ograniczenie liczby, jest to teoretycznie nieskończone, ale dyskretne ...?

— James

Odpowiedzi:

Jeśli tak powiedział twój kurs, to źle.

Chociaż rozkłady dyskretne mogą mieć skończoną liczbę możliwych wyników, nie są one wymagane; możesz mieć dyskretny rozkład, który ma nieskończoną liczbę możliwych wyników - liczba elementów powinna być nie więcej niż policzalna.

Typowym przykładem może być rozkład geometryczny; rozważ liczbę rzutów uczciwą monetą, dopóki nie zdobędziesz głowy. Nie ma skończonej górnej granicy liczby rzutów, które mogą być potrzebne. Może to potrwać 1 rzut lub 2 lub 3 lub 100 lub dowolną inną liczbę.

Rozkład dyskretny może być ujemny (weź pod uwagę różnicę między dwiema losowymi zmiennymi rozmieszczonymi geometrycznie; może to być dowolna liczba całkowita dodatnia lub ujemna).

Rozkład dyskretny nie musi jednak przekraczać liczb całkowitych, jak w moim przykładzie. To tylko powszechna sytuacja, a nie wymóg.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Więc jaki jest faktyczny stan, który sprawia, że dystrybucja jest „dyskretna”? :)

— Mt Drury

Warunkiem jest to, że ma on miarę Lebesgue'a zero, prawda? @MatthewDrury ?. Co z kolei jest równoważne rozkładowi sumującemu do jednego na co najwyżej policzalnym zestawie.

— Therkel

Muszę przyznać, że nie znam kanonicznych definicji. Jestem ciekawy roli punktów akumulacyjnych w tym wszystkim.

— Matthew Drury,

@Therkel Sądzę, że rozkład w zestawie Cantor nie byłby uważany za „dyskretny”.

— Akumulacja

Po sprawdzeniu en.wikipedia.org/wiki/Countable_set chętnie przyjmuję to jako odpowiedź; przykład rozkładu geometrycznego jest jasny i wydaje się reprezentować konsensus odpowiedzi, do których do tej pory doszło.

— James

Piszę odpowiedź z perspektywą, że mam bardzo naiwne zrozumienie prawdopodobieństwa teoretycznego (tak więc, eksperci, proszę mnie poprawić!).

Zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych) jest funkcją , gdzie jest przestrzenią próbki. $X: S \to \mathbb{R}$ $S$

jest dyskretny, jeśli , obraz indukowany przez , jest policzalny. jest ciągły, jeśli maabsolutnie ciągły CDF. (Nie wiem zbyt wiele o funkcjach absolutnie ciągłych, więc nie mogę rozwinąć tej kwestii.) $X$ $X(S)$ $S$ $X$ $X$ $X$

Jednak nie wszystkie zmienne losowe są dyskretne lub ciągłe. Istnieją „mieszane” zmienne losowe, w których ma CDF, który jest sumą funkcji kroku i funkcji ciągłej ze wskaźnikami. $X(s)$

Możesz także mieć zmienne losowe, które nie są ani dyskretne, ani ciągłe, takie jak rozkład Cantora .

— Klarnecista
źródło

W rzeczywistości dość dużo wiesz o absolutnie ciągłych rozkładach, ponieważ (prawie z definicji) absolutnie ciągły rozkład to taki, który ma gęstość. Istnieją ciągłe rozkłady, które nie mają gęstości: archetypowym przykładem jest rozkład wywołany funkcją Cantora .

— whuber

Jeśli policzalny obraz ma punkt akumulacji, czy nadal powiedzielibyśmy, że jest dyskretny?

— Matthew Drury

@Mathew Tak. Przykład, o którym wspomniałem w innym komentarzu ( stats.stackexchange.com/a/104018/919 ), który jest wyraźnie dyskretny (każda z policzalnej liczby wartości ma niezerowe prawdopodobieństwo, więc jego funkcja dystrybucji składa się wyłącznie ze skoków) ma cały przedział

dla jego zestawu punktów akumulacji.

[0, 1]

$[0,1]$

— whuber

Aby zacytować stronę wikipedii na temat zmiennych ciągłych i dyskretnych :

Jeśli [zmienna] może przyjmować dwie konkretne wartości rzeczywiste, tak że może również przyjmować wszystkie rzeczywiste wartości między nimi (nawet wartości, które są arbitralnie blisko siebie), zmienna jest ciągła w tym przedziale

Dlatego dyskretna zmienna losowa nie musi mieć „skończonej liczby opcji”, ale musi istnieć nieskończenie mała przerwa między możliwymi wartościami. Jest tak w przypadku rozkładu liczb całkowitych, ponieważ „odległość” między dwiema sąsiednimi liczbami całkowitymi wynosi 1 i nie może być mniejsza niż ta. Dlatego zmienna nie jest ciągła, ponieważ nie „kontynuuje” w tych lukach.

Edycja: Wiem, że istnieje prawdopodobnie lepszy i / lub bardziej precyzyjny sposób rozwiązania tego problemu, ale to pomogło mi osobiście zrozumieć różnicę.

— deemel
źródło

0

$0$

1.

$1.$

Niektórzy autorzy powiedzieli, że wartości, które arbitralnie się do siebie zbliżają, nie są dyskretne, ale muszę przyznać, że uważam to za dziwne (choć być może czegoś mi brakuje). Przykładem jest rozkład różnicy pierwiastków kwadratowych dwóch losowych zmiennych Poissona (z zastosowaniami rzeczywistymi: ludzie czasami przyjmują pierwiastki kwadratowe ze zmiennymi uważanymi za Poissona, aby ustabilizować wariancję i mogą być zainteresowani tym, czy różnice par są wyśrodkowane na zero). Wartości mogą być dowolnie bliskie razem z taką zmienną, ale zawsze są odrębne (można je wyliczyć), ... ctd

— Glen_b -Reinstate Monica

Y = 1 / X

$Y=1/X$

X

$X$

ε > 0

$ε>0$

X

$X$

Y

$Y$

A

$A$

A

$A$

Przypuszczam, że to pomyłka, którą miałem w głowie. Jestem wyszkolonym topologiem, więc dyskretnie zdecydowanie dzwoni w kontekście topologicznym, gdy go słyszę. Dziękujemy za wyjaśnienie @whuber.

— Matthew Drury