Intuicja kryjąca się za wzorem wariancji sumy dwóch zmiennych

Wiem z poprzednich badań, że

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Nie rozumiem jednak, dlaczego tak jest. Widzę, że efektem będzie „podniesienie” wariancji, gdy kowboja A i B bardzo wysoko. Sensowne jest, że gdy tworzysz kompozyt z dwóch wysoce skorelowanych zmiennych, zwykle dodajesz wysokie obserwacje z A z wysokimi obserwacjami z B, a niskie obserwacje z A z niskimi obserwacjami z B. To będzie miało tendencję do tworzyć ekstremalnie wysokie i niskie wartości w zmiennej złożonej, zwiększając wariancję złożonej.

Ale dlaczego zwielokrotnia kowariancję przez dokładnie 2?

Prosta odpowiedź:

Wariancja obejmuje kwadrat:

$$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$$

Zatem twoje pytanie sprowadza się do czynnika 2 w kwadratowej tożsamości:

$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

Które można rozumieć wizualnie jako rozkład pola kwadratu boku na obszar mniejszych kwadratów boków a i b , oprócz dwóch prostokątów boków a i b :$(a+b)$$a$$b$$a$$b$

Bardziej zaangażowana odpowiedź:

Jeśli chcesz matematycznie bardziej zaangażowanej odpowiedzi, kowariancja jest formą dwuliniową, co oznacza, że ​​jest liniowa zarówno w pierwszym, jak i drugim argumencie, prowadzi to do:

$$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$$

W ostatnim wierszu wykorzystałem fakt, że kowariancja jest symetryczna:

$$Cov(A,B) = Cov(B,A)$$

Podsumowując:

To dwa, ponieważ musisz uwzględnić zarówno i c o v ( B , A ) .$cov(A,B)$$cov(B,A)$

Zbiór zmiennych losowych jest przestrzenią wektorową, a wiele właściwości przestrzeni euklidesowej można do nich analogować. Odchylenie standardowe działa podobnie do długości, a wariancja do kwadratu. Niezależność odpowiada byciu ortogonalnym, a idealna korelacja odpowiada zwielokrotnieniu skalarnemu. Zatem wariancja zmiennych niezależnych jest zgodna z twierdzeniem Pitagorasa:
.$var(A+B) = var(A)+var(B)$

Jeśli są idealnie skorelowane, to
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

Zauważ, że jest to równoważne z
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

$A$$B$$cov(A,B)$$var(A,B)$$var(A)$$var(B)$$2\sqrt{var(A)var(B)}$ term; the more correlated the variables are, the larger this third term will be. And this is precisely what $2cov(A,B)$ is: it's $2\sqrt{var(A)var(B)}$ times the $r^2$ of $A$ and $B$.

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

where $MeasureOfCorrelation = r^2$ and $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

Put in other terms, if $r = correl(A,B)$, then

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

Thus, $r^2$ is analogous to the $cos$ in the Law of Cosines.

I would add that what you cited is not the definition of $Var(A+B)$, but rather a consequence of the definitions of $Var$ and $Cov$. So the answer to why that equation holds is the calculation carried out by byouness. Your question may really be why that makes sense; informally:

How much $A+B$ will "vary" depends on four factors:

1. How much $A$ would vary on its own.
2. How much $B$ would vary on its own.
3. How much $A$ will vary as $B$ moves around (or varies).
4. How much $B$ will vary as $A$ moves around.

Which brings us to

$$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$$ $$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$$ because $Cov$ is a symmetric operator.