Jednolity plik PDF różnicy dwóch rv

Czy możliwe jest, aby PDF różnicy dwóch iid rv wyglądał jak prostokąt (zamiast, powiedzmy, trójkąta, który otrzymujemy, jeśli rv zostaną pobrane z rozkładu jednolitego).

tzn. czy jest możliwe, aby PDF f jk (dla dwóch iid rv pobranych z jakiejś dystrybucji) miał f (x) = 0,5 dla wszystkich -1 <x <1?

Nie ma żadnych ograniczeń w dystrybucji, z której bierzemy j i k, z wyjątkiem tego, że min wynosi -1, a maksimum wynosi 1.

Po eksperymentach myślę, że może to być niemożliwe.

Twierdzenie: Brak rozkładu$\text{Dist}$ dla którego $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ kiedy $A, B \sim \text{IID Dist}$.

---

Dowód: rozważ dwie zmienne losowe$A, B \sim \text{IID Dist}$ o wspólnej charakterystycznej funkcji $\varphi$. Oznaczając ich różnicę przez$D=A-B$. Charakterystyczną funkcją różnicy jest:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

(Czwarty wiersz tej pracy wynika z faktu, że charakterystyczną funkcją jest hermitian .) A teraz, biorąc$D \sim \text{U}(-1,1)$ daje konkretny formularz dla $\varphi_D$, który jest:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

gdzie ta ostatnia jest (nienormalizowaną) funkcją sinc . Dlatego, aby spełnić wymagania dla$\text{Dist}$, potrzebujemy charakterystycznej funkcji $\varphi$ z kwadratową normą podaną przez:

$$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$$

Lewa strona tego równania jest kwadratową normą i dlatego jest nieujemna, podczas gdy prawa strona jest funkcją ujemną w różnych miejscach. Dlatego nie ma rozwiązania tego równania, a zatem nie ma funkcji charakterystycznej spełniającej wymagania dla rozkładu. (Porada dla Fabiana za zwrócenie na to uwagi w powiązanym pytaniu na Mathematics.SE .) Stąd nie ma rozkładu z wymaganiami twierdzenia. $\blacksquare$

Jest to stanowisko inżyniera elektryka w tej kwestii, z punktu widzenia bardziej odpowiedniego dla dsp.SE niż stats.SE, ale bez względu na to.

Przypuszczam, że $X$ i $Y$są ciągłymi zmiennymi losowymi ze wspólnym plikiem pdf$f(x)$. A następnie, jeśli$Z$ oznacza $X-Y$mamy to

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$$ Mówi nam o tym nierówność Cauchy'ego-Schwarza $f_Z(z)$ ma maksimum przy $z=0$. W rzeczywistości od tego czasu$f_Z$ jest właściwie funkcją „autokorelacji” $f$uważany za „sygnał”, musi mieć unikalne maksimum na$z=0$ a zatem $Z$ nie może być równomiernie rozłożone, jak jest to pożądane. Alternatywnie, jeśli$f_Z$ były rzeczywiście jednolitą gęstością (pamiętaj, że jest to również funkcja autokorelacji), a następnie „gęstość widmowa mocy” $f_Z$(uważany za sygnał) byłby funkcją sinusa, a zatem nie nieujemną funkcją, ponieważ muszą być wszystkie gęstości widmowe mocy. Ergo, założenie, że$f_Z$ równomierna gęstość prowadzi do sprzeczności, a zatem założenie musi być fałszywe.

Twierdzenie, że $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ jest oczywiście nieważny, gdy wspólna dystrybucja $X$ i $Y$zawiera atomy, ponieważ w takim przypadku rozkład$Z$będzie również zawierać atomy. Podejrzewam, że ograniczenie to$X$ i $Y$mieć plik pdf, który można usunąć, a dowód czysto teoretyczny skonstruowany dla ogólnego przypadku, gdy$X$ i $Y$ niekoniecznie cieszą się pdf (ale ich różnica robi).