Jakie jest normalne przybliżenie rozkładu wielomianowego?

Jeśli istnieje wiele możliwych przybliżeń, szukam najbardziej podstawowego.

Można to przybliżyć za pomocą wielowymiarowego rozkładu normalnego w taki sam sposób, w jaki rozkład dwumianowy jest aproksymowany przez jednowymiarowy rozkład normalny. Sprawdź elementy teorii dystrybucji i dystrybucji wielomianowej strony 15-16-17.

Niech będzie wektorem prawdopodobieństw. Zatem średni wektor wielowymiarowego rozkładu normalnego wynosi . Macierz kowariancji jest macierzą symetryczną . Elementy diagonalne są w rzeczywistości wariancją ; tj. , . Element nie przekątny w i-tym wierszu i j-tej kolumnie to , gdzie nie jest równe .n P = ( N s 1 , n p 2 , . . . , N p k ) k x k x i n s I ( 1 - P i ) i = 1 , 2 ... , k Cov ( X i , X $P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$ i $\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

Gęstość podana w tej odpowiedzi jest zdegenerowana, dlatego użyłem następującego obliczenia gęstości, która wynika z normalnego przybliżenia:

Istnieje twierdzenie, które mówi, że podana zmienna losowa , dla -wymiarowego wektora z i , że;$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$$m$$p$$\sum_i p_i = 1$$\sum_i X_i = n$

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

dla dużej , dane;$n$

• wektor z ;$u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• zmienne losowe dla i;$Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• macierz ortogonalna z końcową kolumną .$Q$$u$

Oznacza to, że z pewną rearanżacją możemy opracować wielowymiarowy rozkład normalny wymiaru dla pierwszych składników (które są jedynymi interesującymi składnikami, ponieważ jest sumą pozostałych).$m-1$$m-1$$X$$X_m$

Odpowiednią wartością macierzy jest z - tj. Konkretna transformacja Householdera.$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

Jeśli to ograniczenie w lewej do pierwszych wierszy i ograniczyć do pierwszych wierszy i kolumn (oznaczają te a , odpowiednio), a następnie:$m-1$$Q$$m-1$$m-1$$\hat{X}$$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

dla dużych , gdzie;$n$

• $\hat{u}$ oznacza pierwsze wyrażenia ;$m-1$$u$
• średnia to , i;$\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• macierz kowariancji z .$n \Sigma = n A A^T$ = diag ( U ) P$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

Prawa strona tego końcowego równania to nie-zdegenerowana gęstość zastosowana w obliczeniach.

Zgodnie z oczekiwaniami, po podłączeniu wszystkiego otrzymasz następującą macierz kowariancji:

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

$i,j = 1, \ldots, m-1$m - 1$m-1$$m-1$

Ten wpis na blogu był moim punktem wyjścia.