Czy prawdopodobieństwa są zachowane podczas transformacji funkcji?

Myślę, że jest to trochę podstawowe, ale powiedzmy, że mam zmienną losową , prawdopodobieństwo takie samo jak dla dowolnej funkcji ciągłej wartości rzeczywistej ?$X$$P(X \leq a)$$P(f(X) \leq f(a))$$f$

Dotyczy to tylko sytuacji, gdy rośnie monotonicznie. Jeśli maleje monotonicznie, to . Na przykład, jeśli , a X jest normalnym rzutem, wówczas ale . Jeśli przełącza się między zwiększaniem a zmniejszaniem, jest to jeszcze bardziej skomplikowane.f P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) = P ( X ≥ a ) f ( x ) = - x P ( X ≤ 5 ) = $f$$f$$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$$f(x) = -x$ P(-X≤-5)=$P(X \leq 5) = \frac56$$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$

Zauważ, że istnieje także trywialny przypadek , w którym jest równe 1, jeśli i 0 w przeciwnym razie.P ( f ( X ) ≤ a ) a ≥ $f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$$a \geq 0$

Nr Take jednolite w i . Następnie . Z drugiej strony .[ - 1 , 1 $X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Jest to związane z pytaniem:

jest dla każdego ?$X \leq a$$f(X) \leq f(a)$

Istnieje wiele sposobów na złamanie podczas gdy . Ale we wszystkich przypadkach musi być funkcją niemonotoniczną.$f(X) \leq f(a)$$X \leq a$$f$