Suma graniczna iid Gamma jest zmienna

Niech $X_1,X_2,\ldots$ będą ciągiem niezależnie i identycznie rozmieszczonych zmiennych losowych z funkcją gęstości prawdopodobieństwa;

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} & if x > 0; \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$

Co próbowałem

Na pierwszy rzut oka myślałem, że powinien użyć nierówności Czebyszewa, ponieważ pytanie brzmi: pokaż dolną granicę . Myślałem jednak o znaku granicznym, który wyraźnie wskazuje, że problem może być w jakiś sposób związany z Central Limit Theorem (CLT) $X_1+X_2+\ldots +X_n$

Niech $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

E (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} E (X_{i}) = 3 n (since E (X_{i}) = 3) V (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} V (X_{i}) = 3 n (since V (X_{i}) = 3 and X_{i} are i.i.d)

$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$

Teraz, używając CLT, dla dużych , Lub, $n$ $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$

z = \frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \sim N (0, 1) as n \to \infty

$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$

Teraz

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3}) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + P (z \geq 0) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + \frac{1}{2} \dots (1)

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$

Ponieważ , a więc od , $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ $(1)$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$

Mam rację?

probability self-study

CLT wydaje się rozsądnym podejściem, ale „ "nie ma sensu ..

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n})

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

— P.Windridge

Myślę, że powinno to być

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3})

Alternatywnie, rozważ to iid a więc . Mediana zmiennej losowej gamma, nie jest znane w zamkniętej formie, ale jest znane (por Wikipedia ), że dla dużych Mediana o leży między zmienną losową i . Ponieważ , musi być tak, że co najmniej połowa masy prawdopodobieństwa leży po prawej stronie .

X_{i} \sim Γ (3, 1)

$X_i \sim\Gamma(3,1)$

X_{1} + X_{2} + \cdot + X_{n} \sim Γ (3 n, 1)

$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$

n

$n$

Γ (3 n, 1)

$\Gamma(3n,1)$

3 n - \frac{1}{3}

$3n-\frac 13$

3 n

$3n$

3 (n - \sqrt{n}) < 3 n - \frac{1}{3}

$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$

3 (n - \sqrt{n})

$3(n-\sqrt{n})$

— Dilip Sarwate,

Odpowiedzi:

Miałeś rację, że Nierówność Czebyszewa zadziała. Zapewnia to dość surowe, ale skuteczne wiązanie, które stosuje się do wielu takich sekwencji, ujawniając, że kluczową cechą tej sekwencji jest to, że wariancja sum cząstkowych rośnie co najwyżej liniowo z . $n$

Rozważmy zatem wyjątkowo ogólny przypadek dowolnej sekwencji nieskorelowanych zmiennych ze średnimi i skończonymi wariancjami Niech będzie sumą pierwszego z nich, $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2.$ $Y_n$ $n$

Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$

W związku z tym średnia wynosi $Y_n$

m_{n} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{n}

$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$

a jego wariantem jest

s_{n}^{2} = Var (Y_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) + 2 \sum_{j > i} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} .

$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$

Załóżmy, że rośnie co najwyżej liniowo z : $s_n^2$ $n$ to znaczy istnieje liczba taka, że dla wszystkich wystarczająco dużych Niech (jeszcze do ustalenia), zauważ to $\lambda\gt 0$ $n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$ $k\gt 0$

m - k \sqrt{n} \leq m - \frac{k}{λ} s_{n},

$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$

i zastosuj nierówność Czebyszewa do aby uzyskać $Y_n$

\begin{aligned} Pr (Y_{n} \geq m_{n} - k \sqrt{n}) & \geq Pr (Y_{n} \geq m_{n} - \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq Pr (| Y_{n} - m_{n} | \leq \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq 1 - \frac{λ^{2}}{k^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$

Dwie pierwsze nierówności są podstawowe: następują, ponieważ każde kolejne zdarzenie jest podzbiorem poprzedniego.

W rozważanym przypadku, w którym są niezależnie (a zatem nie są skorelowane) środki , a wariancje mamy i $X_i$ $\mu_i=3$ $\sigma_i^2=3,$ $m_n=3n$

s_{n} = \sqrt{3} \sqrt{n},

$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$

skąd możemy wziąć tak małe jak Zdarzenie w pytaniu odpowiada gdzie $\lambda$ $\sqrt{3}.$ $3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$ $k=3,$

Pr (Y_{n} \geq 3 n - 3 \sqrt{n}) \geq 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2},

$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$

CO BYŁO DO OKAZANIA.

— Whuber
źródło

Jako alternatywę dla doskonałej odpowiedzi Whubera postaram się ustalić dokładny limit prawdopodobieństwa, o którym mowa. Jedną z właściwości rozkładu gamma jest to, że sumy niezależnych zmiennych losowych gamma o tym samym parametrze szybkości / skali są również zmiennymi losowymi gamma o kształcie równym sumie kształtów tych zmiennych. (Można to łatwo udowodnić za pomocą funkcji generujących rozkład.) W niniejszym przypadku mamy , więc otrzymujemy sumę: $X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

S_{n} \equiv X_{1} + \dots + X_{n} \sim Gamma (3 n, 1) .

$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$

Możemy zatem zapisać dokładne prawdopodobieństwo zainteresowania za pomocą CDF rozkładu gamma. Niech oznacza parametr kształtu, a oznacza argument będący przedmiotem zainteresowania, mamy: $a = 3n$ $x = 3(n-\sqrt{n})$

\begin{aligned} H (n) & \equiv P (S_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})) \\ = \frac{Γ (a, x)}{Γ (a)} \\ = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Aby znaleźć granicę tego prawdopodobieństwa, najpierw zauważamy, że możemy napisać drugi parametr w kategoriach pierwszego jako gdzie . Korzystając z wyniku pokazanego w Temme (1975) (Eqn 1.4, s. 1109), mamy asymptotyczną równoważność: $x = a + \sqrt{2a} \cdot y$ $y = -\sqrt{3/2}$

\begin{aligned} \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} & \sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (- y) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} (1 + y^{2}) \exp (- y^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$

Korzystając z aproksymacji Stirlinga i ograniczającej definicji liczby wykładniczej, można również wykazać, że:

\begin{aligned} \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} & \sim \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2} + x^{a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2} + \sqrt{x} \cdot (\frac{x}{a})^{a - 1 / 2} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1} + \sqrt{x} \cdot e^{x - a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a}{\sqrt{2 π} \cdot a + \sqrt{x}} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$

Zastępując odpowiednie wartości, otrzymujemy zatem:

\begin{aligned} H (n) & = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} \cdot [\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp (\frac{3}{2})] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

To daje nam limit:

lim_{n \to \infty} H (n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) = 0.9583677.

$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$

Daje nam to dokładny limit prawdopodobieństwa zainteresowania, który jest większy niż połowa.

— Ben - Przywróć Monikę
źródło