Czy stacjonarność jest zachowana w kombinacji liniowej?

Wyobraźmy sobie, że mamy dwa procesy szeregów czasowych, które są stacjonarne, wytwarzając: .$x_t,y_t$

Czy , również stacjonarny? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Każda pomoc będzie mile widziana.

Powiedziałbym tak, ponieważ ma on reprezentację MA.

Być może zaskakujące, to nie jest prawda. (Niezależność dwóch szeregów czasowych sprawi jednak, że będzie to prawdą.)

Rozumiem , że słowo „stabilny” oznacza „ stacjonarny”, ponieważ te słowa wydają się być używane zamiennie w milionach wyników wyszukiwania, w tym co najmniej jednego w naszej witrynie .

Dla kontrprzykładu, niech będzie niestałym stacjonarnym szeregiem czasowym, dla którego każdy jest niezależny od , i którego rozkłady krańcowe są symetryczne wokół . DefiniowaćX t X s s ≠ t , $X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Te wykresy pokazują części trzech szeregów czasowych omówionych w tym poście. symulowano jako serię niezależnych losowań ze standardowego rozkładu normalnego.$X$

Aby pokazać, że jest nieruchome, musimy wykazać, że łączny rozkład dla dowolnego nie zależy od . Wynika to jednak bezpośrednio z symetrii i niezależności . ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , … , Y s + t n ) t 1 < t 2 < ⋯ < t n s X $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Te opóźnione wykresy rozrzutu (dla sekwencji 512 wartości ) ilustrują twierdzenie, że wspólne dwuwymiarowe rozkłady są zgodne z oczekiwaniami: niezależne i symetryczne. („Opóźniony wykres rozproszenia” wyświetla wartości stosunku do ; pokazano wartości ).Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , $Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Niemniej jednak, wybierając , mamy$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

dla parzystego innego$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Ponieważ nie jest stały, te dwa wyrażenia mają oczywiście różne rozkłady dla dowolnego i , skąd szereg nie jest stacjonarny. Kolory na pierwszym rysunku podkreślają tę niestacjonarność w , odróżniając wartości zerowe od reszty.t t + 1 ( X + Y ) / 2 ( X + Y ) /$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Rozważmy dwuwymiarowy proces

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Jeśli jest to ściśle stacjonarnym, lub alternatywnie, jeśli procesy i są wspólnie ściśle stacjonarnym , to proces tworzy mierzalnej funkcji będzie również ściśle stacjonarny.( y t ) f : = f ( x t , y t ) , f : R 2 → $(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

W przykładzie @ whuber mamy

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Aby sprawdzić, czy to jest ściśle stacjonarne, musimy najpierw uzyskać jego rozkład prawdopodobieństwa. Załóżmy, że zmienne są absolutnie ciągłe. Dla niektórych mamy c ∈ $w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Trzymając się przykładu Whubera, dwie gałęzie mają różne rozkłady prawdopodobieństwa, ponieważ ma rozkład symetryczny wokół zera. $x_t$

Teraz, aby sprawdzić ścisłą stacjonarność, przesuń indeks o liczbę całkowitą . Mamy$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Musimy mieć ścisłą stacjonarność

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

I nie mamy tej równości , ponieważ, powiedzmy, jeśli jest parzyste, a jest nieparzyste, to jest nieparzyste, w takim przypadku$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

podczas

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Nie mamy więc wspólnej ścisłej stacjonarności, a następnie nie mamy gwarancji, co stanie się z funkcją . $f(x_t,y_t)$

Muszę zaznaczyć, że zależność między i jest koniecznym, ale niewystarczającym warunkiem utraty wspólnej ścisłej stacjonarności. Jest to dodatkowe założenie zależności od indeksu, który wykonuje zadanie.$x_t$$y_t$$y_t$

Rozważać

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Jeśli poprzednią pracę dla , okaże się, że tutaj obowiązuje ścisła stacjonarna stacjonarność.$(q_t)$

To dobra wiadomość, ponieważ proces polegający na tym, że proces zależy od indeksu i jest ściśle stacjonarny, nie należy do założeń modelowania, które musimy często podejmować. W praktyce zatem, jeśli mamy marginalną ścisłą stacjonarność, oczekujemy również wspólnej ścisłej stacjonarności nawet w obecności zależności (chociaż oczywiście powinniśmy to sprawdzić).

Powiedziałbym tak, ponieważ ma on reprezentację MA.

Jedna obserwacja. Myślę, że posiadanie reprezentacji MA oznacza słabą stacjonarność, nie jestem pewien, czy implikuje silną stacjonarność.