Dla podstawowej intuicji formuły prawdopodobieństwa warunkowego zawsze lubię używać tabeli dwukierunkowej. Powiedzmy, że w grupie rocznej jest 150 studentów, z których 80 to kobiety i 70 mężczyzn, z których każdy musi uczyć się dokładnie jednego kursu językowego. Dwukierunkowa tabela uczniów biorących udział w różnych kursach to:
| French German Italian | Total
-------- --------------------------- -------
Male | 30 20 20 | 70
Female | 25 15 40 | 80
-------- --------------------------- -------
Total | 55 35 60 | 150
Biorąc pod uwagę, że student bierze udział w kursie języka włoskiego, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest kobietą? Kurs języka włoskiego ma 60 studentów, z których 40 to kobiety uczące się języka włoskiego, więc prawdopodobieństwo musi być następujące:
P(F|Italian)=n(F∩Italian)n(Italian)=4060=23
gdzie jest licznością zbioru , tj. liczbą zawartych w nim elementów. Zauważ, że musieliśmy używać w liczniku, a nie tylko , ponieważ to ostatnie obejmowałoby wszystkie 80 kobiet, w tym pozostałe 40 którzy nie uczą się języka włoskiego.A n ( F ∩ włoski ) n ( F )n(A)An(F∩Italian)n(F)
Ale jeśli pytanie zostanie odwrócone, jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń podejmie kurs języka włoskiego, biorąc pod uwagę, że jest kobietą? Następnie 40 z 80 studentek bierze udział w kursie języka włoskiego, więc mamy:
P(Italian|F)=n(Italian∩F)n(F)=4080=12
Mam nadzieję, że to zapewnia intuicję
P(A|B)=n(A∩B)n(B)
Zrozumienie, dlaczego ułamek można zapisać z prawdopodobieństwem zamiast liczności, jest kwestią ułamków równoważnych . Na przykład wróćmy do prawdopodobieństwa, że studentka jest kobietą, biorąc pod uwagę, że uczy się włoskiego. W sumie jest 150 studentów, więc prawdopodobieństwo, że studentka jest kobietą i uczy się włoskiego, wynosi 40/150 (jest to „wspólne” prawdopodobieństwo), a prawdopodobieństwo, że student uczy się włoskiego, wynosi 60/150 (jest to „marginalne” prawdopodobieństwo ). Zauważ, że podzielenie prawdopodobieństwa łącznego przez prawdopodobieństwo krańcowe daje:
P(F∩Italian)P(Italian)=40/15060/150=4060=n(F∩Italian)n(Italian)=P(F|Italian)
(Aby zobaczyć, że ułamki są równoważne, pomnożenie licznika i mianownika przez 150 usuwa „/ 150” w każdym z nich).
Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli Twoja przestrzeń próbkowania ma liczność - w tym przykładzie liczność wynosiła 150 - stwierdzimy, żeΩn(Ω)
P(A|B)=n(A∩B)n(B)=n(A∩B)/n(Ω)n(B)/n(Ω)=P(A∩B)P(B)