Dystrybucja

Jako rutynowe ćwiczenie próbuję znaleźć rozkład $\sqrt{X^2+Y^2}$ gdzie $X$ i $Y$ są niezależne $U(0,1)$ zmienne losowe.

Łączna gęstość wynosząca $(X,Y)$ jest

{fa}_{X, Y} (x, y) = 1_{0 < x, y < 1}

$f_{X,Y}(x,y)=\mathbf 1_{0<x,y<1}$

Przekształcanie na współrzędne biegunowe $(X,Y)\to(Z,\Theta)$ takie, że

X = Z \cos Θ and Y = Z \sin Θ

$X=Z\cos\Theta\qquad\text{ and }\qquad Y=Z\sin\Theta$

Więc, $z=\sqrt{x^2+y^2}$ i $0< x,y<1\implies0< z<\sqrt 2$ .

Kiedy $0< z<1$ , mamy $0< \cos\theta<1,\,0<\sin\theta<1$ po to aby $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ .

Kiedy $1< z<\sqrt 2$ , mamy $z\cos\theta<\implies\theta>\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$ , tak jak $\cos\theta$ zmniejsza się na $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ ; i $z\sin\theta<1\implies\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$ , tak jak $\sin\theta$ rośnie na $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ .

Więc dla $1< z<\sqrt 2$ , mamy $\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)<\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$ .

Bezwzględna wartość jakobianu transformacji wynosi

| J | = z

$|J|=z$

Zatem łączna gęstość wynosi $(Z,\Theta)$ jest dany przez

{fa}_{Z, Θ} (z, θ) = z 1_{{z \in (0, 1), θ \in (0, π / 2))} ⋃ {z \in (1, \sqrt{2)}), θ \in ({sałata}^{- 1} (1 / z), {grzech}^{- 1} (1 / z))}}

$f_{Z,\Theta}(z,\theta)=z\mathbf 1_{\{z\in(0,1),\,\theta\in\left(0,\pi/2\right)\}\bigcup\{z\in(1,\sqrt2),\,\theta\in\left(\cos^{-1}\left(1/z\right),\sin^{-1}\left(1/z\right)\right)\}}$

Integrowanie się $\theta$ , otrzymujemy pdf z $Z$ tak jak

{fa}_{Z} (z) = \frac{π z}{2)} 1_{0 < z < 1} + (\frac{π z}{2)} - 2) z {sałata}^{- 1} (\frac{1}{z})) 1_{1 < z < \sqrt{2)}}

$f_Z(z)=\frac{\pi z}{2}\mathbf 1_{0<z<1}+\left(\frac{\pi z}{2}-2z\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)\right)\mathbf 1_{1<z<\sqrt 2}$

Czy moje powyższe rozumowanie jest prawidłowe? W każdym razie chciałbym uniknąć tej metody i zamiast tego spróbować znaleźć plik cdf $Z$ bezpośrednio. Ale nie mogłem znaleźć pożądanych obszarów podczas oceny $\mathrm{Pr}(Y\le \sqrt{z^2-X^2})$ geometrycznie.

EDYTOWAĆ.

Próbowałem znaleźć funkcję dystrybucji $Z$ tak jak

\begin{aligned} {fa}_{Z} (z) & = Par (Z \leq z) \\ = Par (X^{2)} + Y^{2)} \leq z^{2)}) \\ = \iint_{x^{2)} + y^{2)} \leq z^{2)}} 1_{0 < x, y < 1} re x re y \end{aligned}

$\begin{align} F_Z(z)&=\Pr(Z\le z) \\&=\Pr(X^2+Y^2\le z^2) \\&=\iint_{x^2+y^2\le z^2}\mathbf1_{0<x,y<1}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{align}$

Mathematica mówi, że to powinno się zmniejszyć

{fa}_{Z} (z) = {\begin{cases} 0 & , gdyby z < 0 \\ \frac{π z^{2)}}{4} & , gdyby 0 < z < 1 \\ \sqrt{z^{2)} - 1} + \frac{z^{2)}}{2)} ({grzech}^{- 1} (\frac{1}{z}) - {grzech}^{- 1} (\frac{\sqrt{z^{2)} - 1}}{z})) & , gdyby 1 < z < \sqrt{2)} \\ 1 & , gdyby z > \sqrt{2)} \end{cases}

$F_Z(z)=\begin{cases}0 &,\text{ if }z<0\\ \frac{\pi z^2}{4} &,\text{ if } 0< z<1\\ \sqrt{z^2-1}+\frac{z^2}{2}\left(\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)-\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z}\right)\right) &,\text{ if }1< z<\sqrt 2\\ 1 &,\text{ if }z>\sqrt 2 \end{cases}$

który wygląda jak prawidłowe wyrażenie. Różnicowanie dla przypadku wywołuje jednak wyrażenie, które nie upraszcza tak łatwo, jak już otrzymałem pdf. $F_Z$ $1< z<\sqrt 2$

Wreszcie myślę, że mam odpowiednie zdjęcia do CDF:

Dla : $0<z<1$

I dla : $1<z<\sqrt 2$

Zacienione części mają wskazywać obszar regionu

{(x, y) : 0 < x, y < 1, x^{2)} + y^{2)} \leq z^{2)}}

$\left\{(x,y):0<x,y< 1\,,\,x^2+y^2\le z^2\right\}$

Obraz natychmiast ustępuje

\begin{aligned} {fa}_{Z} (z) & = Par (- \sqrt{z^{2)} - X^{2)}} \leq Y \leq \sqrt{z^{2)} - X^{2)}}) \\ = {\begin{cases} \frac{π z^{2)}}{4} & , gdyby 0 < z < 1 \\ \sqrt{z^{2)} - 1} + \int_{\sqrt{z^{2)} - 1}}^{1} \sqrt{z^{2)} - x^{2)}} re x & , gdyby 1 < z < \sqrt{2)} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} F_Z(z)&=\Pr\left(-\sqrt{z^2-X^2}\le Y\le\sqrt{z^2-X^2}\right) \\&=\begin{cases}\frac{\pi z^2}{4} &,\text{ if } 0<z<1\\\\ \sqrt{z^2-1}+\int_{\sqrt{z^2-1}}^1 \sqrt{z^2-x^2}\,\mathrm{d}x &,\text{ if }1< z<\sqrt 2 \end{cases} \end{align}$

, jak wcześniej znalazłem.

— UpartyAtom
źródło

Aby znaleźć CDF bezpośrednio, użyj funkcji wskaźnika. DlaReszta to czysto algebraiczna manipulacja. (Edycja: Widzę, że Xi'an właśnie opublikował algebrę w swojej odpowiedzi.)

z \geq 0,

$z\ge 0,$

Par (\sqrt{X^{2)} + Y^{2)}} \leq z) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ja (x^{2)} + y^{2)} \leq z^{2)}) re x re y .

$\Pr(\sqrt{X^2+Y^2}\le z)=\int_0^1\int_0^1\mathcal{I}(x^2+y^2\le z^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

— whuber

Edycja: otrzymuję również kilka różnych wyrażeń i (używając FullSimplify) upraszczają one różne formuły w Mathematica . Są jednak równoważne. Można to łatwo pokazać, wykreślając ich różnicę. Najwyraźniej Mathematica nie wie, że gdy .

\tan^{- 1} (\sqrt{z^{2} - 1}) = \sec^{- 1} (z)

$\tan ^{-1}\left(\sqrt{z^2-1}\right)=\sec ^{-1}(z)$

1 < z < \sqrt{2}

$1\lt z \lt \sqrt{2}$

— whuber

Krawędź powierzchni, , na twoim ostatnim zdjęciu powinna być (pół-) kołem ze środkiem (0,0). Zatem wklęsłe zamiast (aktualnie rysowanego) wypukłego.

\sqrt{r^{2} - x^{2}}

$\sqrt{r^2-x^2}$

— Sextus Empiricus

Odpowiedzi:

Poprawność pliku pdf można sprawdzić za pomocą prostej symulacji

samps=sqrt(runif(1e5)^2+runif(1e5)^2)
hist(samps,prob=TRUE,nclass=143,col="wheat")
df=function(x){pi*x/2-2*x*(x>1)*acos(1/(x+(1-x)*(x<1)))}
curve(df,add=TRUE,col="sienna",lwd=3)

Przechodzi znalezienie cdf bez zmiany biegunowej zmiennych

\begin{aligned} P r (\sqrt{X^{2} + Y^{2}} \leq z) & = P r (X^{2} + Y^{2} \leq z^{2}) \\ = P r (Y^{2} \leq z^{2} - X^{2}) \\ = P r (Y \leq \sqrt{z^{2} - X^{2}}, X \leq z) \\ = E^{X} [\sqrt{z^{2} - X^{2}} I_{[0, min (1, z)]} (X)] \\ = \int_{0}^{min (1, z)} \sqrt{z^{2} - x^{2}} d x \\ = z^{2} \int_{0}^{min (1, z^{- 1})} \sqrt{1 - y^{2}} d y [x = y z, d x = z d y] \\ = z^{2} \int_{0}^{min (π / 2, \cos^{- 1} z^{- 1})} \sin^{2} θ d θ [y = \cos (θ), d y = \sin (θ) d θ] \\ = \frac{z^{2}}{2} [min (π / 2, \cos^{- 1} z^{- 1}) - \sin {min (π / 2, \cos^{- 1} z^{- 1})} \cos {min (π / 2, \cos^{- 1} z^{- 1}}] \\ = \frac{z^{2}}{2} {\begin{cases} π / 2 & if z < 1 \\ \cos^{- 1} z^{- 1} - \sin {\cos^{- 1} z^{- 1})} z^{- 1} & if z \geq 1 \end{cases} \\ = \frac{z^{2}}{2} {\begin{cases} π / 2 & if z < 1 \\ \cos^{- 1} z^{- 1} - \sqrt{1 - z^{- 2}} z^{- 1} & if z \geq 1 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{Pr}(\sqrt{X^2+Y^2}\le z) &= \mathrm{Pr}(X^2+Y^2\le z^2)\\ &= \mathrm{Pr}(Y^2\le z^2-X^2)\\ &=\mathrm{Pr}(Y\le \sqrt{z^2-X^2}\,,X\le z)\\ &=\mathbb{E}^X[\sqrt{z^2-X^2}\mathbb{I}_{[0,\min(1,z)]}(X)]\\ &=\int_0^{\min(1,z)} \sqrt{z^2-x^2}\,\text{d}x\\ &=z^2\int_0^{\min(1,z^{-1})} \sqrt{1-y^2}\,\text{d}y\qquad [x=yz\,,\ \text{d}x=z\text{d}y]\\ &=z^2\int_0^{\min(\pi/2,\cos^{-1} z^{-1})} \sin^2{\theta} \,\text{d}\theta\qquad [y=\cos(\theta)\,,\ \text{d}y=\sin(\theta)\text{d}\theta]\\ &=\frac{z^2}{2}\left[ \min(\pi/2,\cos^{-1} z^{-1}) - \sin\{\min(\pi/2,\cos^{-1} z^{-1})\}\cos\{\min(\pi/2,\cos^{-1} z^{-1}\}\right]\\ &=\frac{z^2}{2}\begin{cases} \pi/2 &\text{ if }z<1\\ \cos^{-1} z^{-1}-\sin\{\cos^{-1} z^{-1})\}z^{-1}&\text{ if }z\ge 1\\ \end{cases}\\ &=\frac{z^2}{2}\begin{cases} \pi/2 &\text{ if }z<1\\ \cos^{-1} z^{-1}-\sqrt{1-z^{-2}}z^{-1}&\text{ if }z\ge 1\\ \end{cases} \end{align*}$ co kończy się tą samą złożonością! (Plus moje potencjalne błędy po drodze!)

— Xi'an
źródło

Przypadek jest tam, gdzie robi się trochę rozmyty. Wydaje mi się, że nie kończę na poprawnym pliku PDF różnicującym wyrażenie dla .

1 \leq z < \sqrt{2}

$1\le z<\sqrt 2$

z \geq 1

$z\ge 1$

— StubbornAtom

$f_z(z)$ :

Tak więc dla mamy $1\le z<\sqrt 2$ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)\le\theta\le\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$

Możesz uprościć swoje wyrażenia, używając symetrii i oceniając wyrażenia dla . Tak więc dla połowy przestrzeni, a następnie podwój wynik. $\theta_{min} < \theta < \frac{\pi}{4}$

Następnie otrzymujesz:

P. (Z \leq r) = 2) \int_{0}^{r} z (\int_{θ_{m ja n}}^{\frac{π}{4}} re θ) re z = \int_{0}^{r} z (\frac{π}{2)} - 2) θ_{m ja n}) re z

$P(Z \leq r) = 2 \int_0^r z \left(\int_{\theta_{min}}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\right) dz = \int_0^r z \left(\frac{\pi}{2}-2\theta_{min}\right) dz$

a twoje to $f_z(z)$

{fa}_{z} (z) = z (\frac{π}{2)} - 2) θ_{m ja n}) = {\begin{cases} z (\frac{π}{2)}) & gdyby 0 \leq z \leq 1 \\ z (\frac{π}{2)} - 2) {sałata}^{- 1} (\frac{1}{z})) & gdyby 1 < z \leq \sqrt{2)} \end{cases}

$f_z(z) = z \left(\frac{\pi}{2}-2\theta_{min}\right) = \begin{cases} z\left(\frac{\pi}{2}\right) & \text{ if } 0 \leq z \leq 1 \\ z \left(\frac{\pi}{2} - 2 \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)\right) & \text{ if } 1 < z \leq \sqrt{2} \end{cases}$

$F_z(z)$ :

Możesz użyć całki nieoznaczonej:

\int z {sałata}^{- 1} (\frac{1}{z}) = \frac{1}{2)} z (z {sałata}^{- 1} (\frac{1}{z}) - \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2)}}}) + do

$\int z \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{2} z \left( z \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) - \sqrt{1-\frac{1}{z^2}} \right) + C$

uwaga $\frac{d}{du} \cos^{-1}(u) = - (1-u^2)^{-0.5}$

To prowadzi prosto do czegoś podobnego do wyrażenia Xi'ansa dla mianowicie $Pr(Z \leq z)$

jeśli to: $1 \leq z \leq \sqrt{2}$

{fa}_{z} (z) = z^{2)} (\frac{π}{4} - {sałata}^{- 1} (\frac{1}{z}) + z^{- 1} \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2)}}})

$F_z(z) = {z^2} \left(\frac{\pi}{4}-\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) + z^{-1}\sqrt{1-\frac{1}{z^2}} \right)$

Relacja z twoim wyrażeniem jest widziana, gdy dzielimy na dwa wyrażenia , a następnie przekształcamy na różne wyrażenia . $cos^{-1}$ $cos^{-1}$ $sin^{-1}$

dla mamy $z>1$

{sałata}^{- 1} (\frac{1}{z}) = {grzech}^{- 1} (\sqrt{1 - \frac{1}{z^{2)}}}) = {grzech}^{- 1} (\frac{\sqrt{z^{2)} - 1}}{z})

$\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) = \sin^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z}\right)$

{sałata}^{- 1} (\frac{1}{z}) = \frac{π}{2)} - {grzech}^{- 1} (\frac{1}{z})

$\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{\pi}{2} -\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$

więc

\begin{matrix} {sałata}^{- 1} (\frac{1}{z}) & = 0,5 {sałata}^{- 1} (\frac{1}{z}) + 0,5 {sałata}^{- 1} (\frac{1}{z}) \\ = \frac{π}{4} - 0,5 {grzech}^{- 1} (\frac{1}{z}) + 0,5 {grzech}^{- 1} (\frac{\sqrt{z^{2)} - 1}}{z}) \end{matrix}

$\begin{array}\\ \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) & = 0.5 \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) + 0.5 \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) \\ & = \frac{\pi}{4} - 0.5 \sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) + 0.5 \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z}\right) \end{array}$

co powoduje wyrażenie po podłączeniu do wcześniej wspomnianego dla $F_z(z)$ $1<z<\sqrt{2}$

— Sextus Empiricus
źródło

Dla , jest tylko obszarem ćwiartki koła o promieniu który wynosi . To znaczy, $0 \leq z \leq 1$ $P\left(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right)$ $z$ $\frac 14 \pi z^2$

Dla 0 \leq z \leq 1, obszar ćwiartki koła = \frac{π z^{2)}}{4} = P. (\sqrt{X^{2)} + Y^{2)}} \leq z) .

$\text{For }0 \leq z \leq 1, ~\text{area of quarter-circle} = \frac{\pi z^2}{4} = P\left(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right).$

Dla region, nad którym musimy się zintegrować, aby znaleźć można podzielić na dwa trójkąty prawe jeden z nich ma wierzchołki i podczas gdy drugi ma wierzchołki i wraz z sektorem koła o promieniu i zawiera kąt . Obszar tego regionu (i stąd wartość ) jest łatwy do znalezienia. Mamy to dla $1 < z \leq \sqrt{2}$ $P\left(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right)$ $\big($ $(0,0), (0,1)$ $(\sqrt{z^2-1}, 1)$ $(0,0), (1,0)$ $(1, \sqrt{z^2-1})$ $\big)$ $z$ $\frac{\pi}{2}-2\arccos\left(\frac{1}{z}\right)$ $\left( P(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right)$ $1 < z \leq \sqrt{2}$ , co jest wynikiem odpowiedzi Martijna Weteringa.

\begin{aligned} obszar regionu & = obszar dwóch trójkątów plus obszar sektora \\ = \sqrt{z^{2)} - 1} + \frac{1}{2)} z^{2)} (\frac{π}{2)} - 2) \arccos (\frac{1}{z})) \\ = \frac{π z^{2)}}{4} + \sqrt{z^{2)} - 1} - z^{2)} \arccos \frac{1}{z} \\ = (P. (\sqrt{X^{2)} + Y^{2)}} \leq z) \end{aligned}

$\begin{align}\text{area of region} &= \text{area of two triangles plus area of sector}\\ &=\sqrt{z^2-1} + \frac 12 z^2\left( \frac{\pi}{2}-2\arccos \left(\frac{1}{z}\right)\right)\\ &= \frac{\pi z^2}{4} + \sqrt{z^2-1} - z^2\arccos \frac{1}{z}\\ &= \left( P(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right)\end{align}$

— Dilip Sarwate
źródło

Dystrybucja

fz(z)fz(z)f_z(z) :

faz( z)faz(z)F_z(z) :

$f_z(z)$ :

$F_z(z)$ :