Jak mogę generować dane z uprzednio określoną macierzą korelacji?

Próbuję wygenerować skorelowaną losową sekwencję ze średnią = , wariancja = , współczynnik korelacji = . W poniższym kodzie używam & jako standardowych odchyleń i & jako środków.$0$$1$$0.8$s1s2m1m2

p = 0.8 
u = randn(1, n)
v = randn(1, n)
x = s1 * u + m1
y = s2 * (p * u + sqrt(1 - p^2) * v) + m2

To daje mi poprawkę corrcoef()0,8 pomiędzy xi y. Moje pytanie brzmi: w jaki sposób mogę wygenerować szereg oznacza, że ​​jeśli chcę z, to jest również skorelowane y(z tą samą korelacją ), ale nie z . Czy jest jakiś szczególny wzór, który muszę znać? Znalazłem jeden, ale nie mogłem go zrozumieć.$r=0.8$x

Wygląda na to, że pytasz, jak wygenerować dane z określoną macierzą korelacji.

Przydatnym faktem jest to, że jeśli masz losowy wektor z macierzą kowariancji , to losowy wektor ma średnią i macierz kowariancji . Tak więc, jeśli zaczniesz od danych oznaczających zero, pomnożenie przez tego nie zmieni, więc twoje pierwsze wymaganie jest łatwo spełnione. ${\bf x}$$\Sigma$${\bf Ax}$${\bf A} E({\bf x})$$\Omega = {\bf A} \Sigma {\bf A}^{T}$${\bf A}$

Powiedzmy zacząć (średnia zero) danych nieskorelowanych (tj macierz kowariancji jest przekątna) - skoro mówimy o macierzy korelacji, po prostu wziąć . Możesz przekształcić to w dane za pomocą danej macierzy kowariancji, wybierając jako cholesky pierwiastek kwadratowy z - wtedy miałby pożądaną macierz kowariancji .$\Sigma = I$${\bf A}$$\Omega$${\bf Ax}$$\Omega$

W twoim przykładzie wydaje się, że chcesz czegoś takiego:

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & 0 \\ .8 & 1 & .8 \\ 0 & .8 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Niestety, macierz ta nie jest jednoznacznie określona, ​​więc nie może być macierzą kowariancji - można to sprawdzić, widząc, że wyznacznik jest ujemny. Być może zamiast tego

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & .3 \\ .8 & 1 & .8 \\ .3 & .8 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & 1 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 1 \\ \end{array} \right)$$

wystarczyłoby. Nie jestem pewien, jak obliczyć cholesky pierwiastek kwadratowy w Matlabie (który wydaje się być tym, którego używasz), ale Rmożesz użyć tej chol()funkcji.

W tym przykładzie dla dwóch wymienionych wyżej odpowiednimi mnożnikami macierzy byłyby odpowiednio$\Omega$

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ .8 & .6 & 0 \\ .3 & .933 & .1972 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ {\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & .7453 & 0 \\ 0 & .8944 & .4472 \\ \end{array} \right)$$

Do tego Rcelu użyto kodu:

x = matrix(0,3,3)
x[1,]=c(1,.8,.3)
x[2,]=c(.8,1,.8)
x[3,]=c(.3,.8,1)
t(chol(x))

     [,1]      [,2]      [,3]
[1,]  1.0 0.0000000 0.0000000
[2,]  0.8 0.6000000 0.0000000
[3,]  0.3 0.9333333 0.1972027

x[1,]=c(1,2/3,0)
x[2,]=c(2/3,1,2/3)
x[3,]=c(0,2/3,1)
t(chol(x))

      [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.0000000 0.0000000
[2,] 0.6666667 0.7453560 0.0000000
[3,] 0.0000000 0.8944272 0.4472136

Jeśli używasz R, możesz również użyć funkcji mvrnorm z pakietu MASS, zakładając, że chcesz normalnie rozproszonych zmiennych. Implementacja jest podobna do powyższego opisu Makra, ale wykorzystuje wektory własne macierzy korelacji zamiast chłodnego rozkładu i skalowania z rozkładem pojedynczej wartości (jeśli opcja empiryczna jest ustawiona na true).

$X$$\Sigma$$\gamma$$\lambda$$\Sigma$

$X' = \gamma\lambda X^{T}$

W przypadku, gdy X”oznacza zwykle rozmieszczone macierz macierzy korelacji i środków kolumn jest taka sama jak .$\Sigma$$X$

Zauważ, że macierz korelacji musi być definitywnie dodatnia, ale przydatne będzie przekonwertowanie jej za pomocą funkcji nearPD z pakietu Matrix w R.

$\Sigma_y$$x$$\Sigma_x = I$$\Sigma_y$$\Lambda$$V$

$\Sigma_y = V \Lambda V^T = ( V \sqrt{\Lambda} ) (\sqrt{\Lambda}^T V^T ) = A A^T$

$y=Ax$