Czy rozkład Gaussa jest szczególnym przypadkiem rozkładu Beta?

Jeśli spojrzysz na rozkład beta za pomocą $\alpha=\beta=4$ , wygląda to bardzo podobnie do rozkładu Gaussa . Ale czy to jest? Jak możesz udowodnić, czy rozkład Beta (4,4) jest gaussowski, czy nie?

normal-distribution beta-distribution

— użytkownik1068636
źródło

Ich wsparcie jest tak różne.

— Głęboka północ

@DeepNorth - więc sugerujesz, że rozkłady Gaussa nie są konkretnym rodzajem Dystrybucji Beta?

— user1068636,

Więcej niż sugerowanie; jeśli wsparcie jest inne, nie mogą być tej samej dystrybucji.

— Glen_b

Są zarówno symetryczne, jak i mniej więcej w kształcie dzwonu, ale symetryczna beta (przy 4,4 lub innej określonej wartości) nie jest tak naprawdę gaussowska. Możesz to powiedzieć nawet bez patrzenia na gęstość - rozkłady beta są włączone (0,1), podczas gdy wszystkie rozkłady Gaussa są włączone $(-\infty,\infty)$

Przyjrzyjmy się bliżej porównaniu. Ujednolicimy beta (4,4), tak aby miała średnią 0 i odchylenie standardowe 1 ( znormalizowana beta ) i przyjrzymy się, jak gęstość porównuje się do standardowego Gaussa:

Standaryzowana beta (4,4) jest ograniczona do wartości od -3 do 3 (standardowy gaussian może przyjąć dowolną wartość); jest również mniejszy niż szczyt Gaussa i ma bardziej okrągłe „ramiona” wokół około 1 standardowych odchyleń po obu stronach średniej. Jego kurtoza wynosi 27/11 ( 2,45, wobec 3 dla Gaussa). $\approx$

Symetryczne rozkłady beta o większych wartościach parametrów są bliższe Gaussowi.

W granicy, gdy parametr zbliża się do nieskończoności, znormalizowana symetryczna beta zbliża się do standardowego rozkładu normalnego (przykładowy dowód tutaj ).

Zatem żaden konkretny przypadek symetrycznej wersji beta nie jest gaussowski, ale ograniczającym przypadkiem odpowiednio znormalizowanej wersji beta jest gaussowski. Widzimy to podejście łatwiej, patrząc na cdf wersji beta, przekształconej przez funkcję kwantylową Gaussa. W tej skali Gaussian leżałby na linii , podczas gdy symetryczna rodzina beta zbliżałaby się do linii , gdy parametr stawał się coraz większy. $y=x$ $y=x$

Na poniższym wykresie patrzymy na odchylenia od linii , aby wyraźniej zobaczyć zbliżenie się beta ( , ) do Gaussa, gdy rośnie . $y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Nie musisz standaryzować losowej zmiennej Beta, aby mieć wariancję dokładnie ; na przykład zmienna losowa Studenta nie ma wariancji . Jeśli zamiast skutecznie powiedzieć, że jeśli to wraz ze wzrostem , mógłbyś upuścić i powiedzieć wraz ze wzrostem i lepsze dopasowanie do środka rozkładu

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

— Henry