Jaka jest różnica między zależnością liniową a korelacją liniową?

12

Wyjaśnij, jaka jest różnica między dwiema zmiennymi zależnymi liniowo lub skorelowanymi liniowo .

Przejrzałem artykuł na Wikipedii, ale nie znalazłem odpowiedniego przykładu. Wyjaśnij to na przykładzie.

correlation non-independent

— Happy Mittal
źródło

14

Dwie zmienne są liniowo zależne, jeśli jedną można zapisać jako funkcję liniową drugiej. Jeśli dwie zmienne są liniowo zależne, korelacja między nimi wynosi 1 lub -1. Korelacja liniowa oznacza po prostu, że dwie zmienne mają niezerową korelację, ale niekoniecznie mają dokładną zależność liniową. Korelacja jest czasem nazywana korelacją liniową, ponieważ współczynnik korelacji momentu iloczynu Pearsona jest miarą siły liniowości w relacji między zmiennymi.

— Michael R. Chernick
źródło

3

+1. Chociaż wolałbym powiedzieć, że to Pefson. „jest miarą siły zależności liniowej” zamiastis a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns Dobra, to brzmi bardziej odpowiednie.

— Michael R. Chernick

Być może lepszym miernikiem byłoby

niż

, ponieważ nie musimy zmagać się z

zbliżonym do

co oznacza silną zależność liniową (choć z ujemnym nachyleniem). Zastanów się także, ile wariancji wyjaśniono w porównaniu z niewyjaśnionymi, i że

nie prowokuje statystyki do obracania kółek i robienia rąk podczas uroczystości, podczas gdy

ρ^{2}

$\rho^2$

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

- 1

$-1$

ρ = 0.51

$\rho = 0.51$

jest o wiele lepszym dowodem pozytywnego (przeczytanego, opublikowanego) wyniku.

ρ^{2} > 1 / \sqrt{2} \approx 70 %

$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— Dilip Sarwate

8

W liniowa zależność sprawia, iż jeden wektor jest liniową funkcją drugiego: To wynika z tej definicji, że dwie zmienne ruszy w lock-kroku, co oznacza korelację lub w zależności od wartości . Uważam jednak, że aby lepiej zrozumieć różnice i powiązania między pojęciami, warto wziąć pod uwagę geometrię. $\mathbf{R}^2$

v_{1} = za v_{2)} .

$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$

1

$1$

- 1

$-1$

a

$a$

Poniższy wykres pokazuje przykład wzoru na zależność liniową. Widać, że wektory są liniowo zależne, ponieważ jeden jest po prostu wielokrotnością drugiego. wprowadź opis zdjęcia tutaj

$\mathbf{R}^2$

v_{1} \neq za v_{2)}

$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$

v_{1}, v_{2} \neq 0 .

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$ wprowadź opis zdjęcia tutaj

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

v_{1}^{T.} v_{2)} = 0.

$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$

R^{2}

$\mathbf{R}^2$

v_{1}

$\textbf{v}_{1}$

v_{2}

$\textbf{v}_2$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

ρ_{v_{1} v_{2)}} = \frac{(v_{1} - {\bar{v}}_{1} 1)^{T.} (v_{2)} - {\bar{v}}_{2)} 1)}{σ_{v_{1}} σ_{v_{2)}}} .

$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$

$(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$ $(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $1$ $-1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$ $1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$

Zatem, jeśli dwa wektory są liniowo zależne, wyśrodkowane wersje wektorów będą również liniowo zależne, tj. Wektory są doskonale skorelowane. Gdy dwa liniowo niezależne wektory (ortogonalne lub nie) są wyśrodkowane, kąt między wektorami może się zmieniać lub nie. Zatem dla wektorów niezależnych liniowo korelacja może być dodatnia, ujemna lub zerowa.

— tjnel
źródło

0

Niech f (x) ig (x) będą funkcjami.

Aby f (x) ig (x) były liniowo niezależne, musimy je mieć

a * f (x) + b * g (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = b = 0.

Innymi słowy, nie ma takiego c, że a lub b nie jest równe zero, ale

a * f (c) + b * g (c) = 0

Jeśli istnieje taki ac, to mówimy, że f (x) ig (x) są liniowo zależne.

na przykład

f (x) = sin (x) ig (x) = cos (x) są liniowo niezależne

f (x) = sin (x) ig (x) = sin (2x) nie są zależne liniowo (dlaczego?)

— użytkownik34832
źródło

2

c

$c$

a f (c) + b g (c) = 0

$a f(c) + b g(c) = 0$

x

$x$

c = π / 3

$c=\pi/3$