Co to znaczy z algebrą

Często w trakcie (własnego) badania statystyk spotkałem się z terminologią „ -algebra generowana przez zmienną losową”. Nie rozumiem definicji z Wikipedii , ale co najważniejsze, nie rozumiem za tym intuicji. Dlaczego / kiedy potrzebujemy algebry generowane przez zmienne losowe? Jakie jest ich znaczenie? Znam następujące: $\sigma$ $\sigma-$

a -algebra na zbiorze to niepusty zbiór podzbiorów który zawiera , jest zamknięty pod dopełnieniem i pod policzalną sumą. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\Omega$
wprowadzamy -algebras, aby budować przestrzenie prawdopodobieństwa na nieskończonych przestrzeniach próbek. W szczególności, jeśli jest niepoliczalnie nieskończony, wiemy, że mogą istnieć niezmierzone podzbiory (zestawy, dla których nie możemy zdefiniować prawdopodobieństwa). Dlatego nie możemy po prostu użyć zestawu mocy jako naszego zestawu zdarzeń . Potrzebujemy mniejszego zestawu, który jest wciąż wystarczająco duży, abyśmy mogli określić prawdopodobieństwo interesujących zdarzeń i porozmawiać o zbieżności sekwencji zmiennych losowych. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ $\mathcal{F}$

Krótko mówiąc, myślę, że mam dość intuicyjne zrozumienie . Chciałbym mieć podobne zrozumienie dla algebry generowanych przez zmienne losowe: definicja, dlaczego ich potrzebujemy, intuicja, przykład ... $\sigma-$ $\sigma-$

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
źródło

Jedną skuteczną (i intuicyjnie znaczącą) charakterystyką jest to, że jest to najgrubsza sigma-algebra na

Ω

$\Omega$ która umożliwia mierzenie zmiennej losowej.

— whuber

@ Whuber Coarsest oznacza najmniejszy? Innymi słowy, mam swoją przestrzeń prawdopodobieństwa

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ , mam RV

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$ (który można zmierzyć z definicji zmiennej losowej), a

σ

$\sigma$ jest najmniejszym podzbiorem

F

$\mathcal{F}$ tak że

X

$X$ jest nadal wymierny. Ok, ale to nasuwa pytanie, co to intuicyjnie oznacza, że

X

$X$ jest mierzalny :-) czy miałoby sens stwierdzenie, że możemy zdefiniować prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń tego rodzaju

a < X < b

$a\lt X \lt b$ i związków / skrzyżowań?

— DeltaIV

Patrzenie na pojedynczy

na raz daje niewielką intuicję dotyczącą mierzalności. Ta koncepcja sprawdza się podczas badania zbiorów zmiennych losowych - procesów stochastycznych. Z kolei najprostsze procesy stochastyczne (takie jak skończone dyskretne losowe dwumianowe spacery) zapewniają interpretowalne ustawienie, w którym sigma-algebra generowana przez wszystkie zmienne

można traktować jako „dostępne informacje do (włącznie) czasu

. ”

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@ whuber przepraszam, nie rozumiem :) Byłbym wdzięczny, gdybyś mógł wskazać mi inną odpowiedź, jeśli chodzi o bardziej szczegółowe informacje, lub jeśli chciałbyś ją rozwinąć jako odpowiedź. W przeciwnym razie nie martw się - może nie wiem wystarczająco dużo o procesach stochastycznych, aby uzyskać punkt. Chociaż… Muszę doskonalić umiejętności Dynamicznej Sieci Bayesian, więc jeśli ta intuicja pomaga w pracy nad szeregami czasowymi, byłbym bardzo zainteresowany.

— DeltaIV

Zobacz stats.stackexchange.com/a/123754/919 . Pomocne mogą być również stats.stackexchange.com/a/164995/919 i stats.stackexchange.com/a/74339/919 .

— whuber

Rozważmy zmienną losową $X$ . Wiemy, że $X$ jest niczym innym jak mierzalną funkcją od $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ do $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , gdzie $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ są zestawami Borela linii rzeczywistej. Z definicji mierzalności wiemy, że mamy

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

Ale w praktyce obrazami zbiorów Borela mogą nie być wszystkie $\mathcal{A}$ ale zamiast tego mogą one stanowić znacznie grubszy jego podzbiór. Aby to zobaczyć, zdefiniujmy

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

Korzystając z właściwości preimage'ów, nietrudno jest wykazać, że $\mathcal{\Sigma}$ jest sigma-algebrą. Z powyższego wynika również natychmiast, że $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , stąd $\mathcal{\Sigma}$ jest sub-sigma-algebrą. Ponadto, według definicji łatwo zauważyć, że mapowanie $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ jest mierzalne. $\mathcal{\Sigma}$ jest w rzeczywistości najmniejszą sigma-algebrą, która sprawia, że $X$ jest zmienną losową, ponieważ wszystkie inne sigma-algebry zawierałyby co najmniej $\mathcal{\Sigma}$ . Z tego powodu, że mamy do czynienia z preimages zmiennej losowej $X$ nazywamy $\mathcal{\Sigma}$ sigma-algebry indukowane przez zmiennej losowej $X$ .

Oto skrajny przykład: rozważ stałą zmienną losową $X$ , czyli $X(\omega) \equiv \alpha$ . Następnie $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ równy albo $\Omega$ lub $\varnothing$ w zależności od tego, czy $\alpha \in B$ . Wytworzone w ten sposób przestrzeń mierzalna jest trywialna i jako takie jest zdecydowanie włączone $\mathcal{A}$ .

Mam nadzieję że to pomoże.

— JohnK
źródło

to zestaw wydarzeń, prawda? Ten, który

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— oznaczyłem

Tak, urodziłem się z warunkiem znalezienia

bardziej atrakcyjne niż

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— JohnK,

doskonały! Bardzo czyste. Powinieneś napisać książkę :)

— DeltaIV