Często widzę termin biały szum pojawiający się podczas czytania o różnych modelach statystycznych. Muszę jednak przyznać, że nie jestem całkowicie pewien, co to oznacza. Zwykle jest skracany jako . Czy to oznacza, że jest normalnie dystrybuowane, czy może następować po jakiejkolwiek dystrybucji? $WN(0,σ^2)$

normal-distribution white-noise

— użytkownik13514
źródło

en.wikipedia.org/wiki/White_noise

— whuber

To zależy od dyscypliny. Podczas przetwarzania sygnału biały szum nie musi być normalny. Jednak w analizie szeregów czasowych „proces szumu białego” (często zwany po prostu szumem białym) jest zwykle rozkładany.

— JDL

@JDL, czy to dlatego, że w przetwarzaniu sygnałów zakładają, że każdy szum jest gaussowski?

— Aksakal

@JDL, jesteś pewien? Czy możesz podać referencje z co najmniej dwóch lub trzech głównych podręczników szeregów czasowych (takich jak Hamilton „Analiza szeregów czasowych” i jeszcze jeden lub dwa)?

— Richard Hardy

TL; DR

Odpowiedź brzmi NIE, to nie musi być normalne; TAK, mogą to być inne dystrybucje.

Kolory hałasu

Porozmawiajmy o kolorach hałasu.

Hałas wytwarzany przez niemowlę podczas podróży powietrznej nie jest biały. Ma kolor.
Hałas wytwarzany przez silnik samolotu również nie jest biały, ale nie jest tak kolorowy jak hałas dziecka. Jest bielszy.
Hałas wytwarzany przez ocean lub las jest prawie biały.

Jeśli używasz słuchawek z redukcją szumów, wiesz, że nr 1 nie można anulować. Z łatwością przebije każdy telefon. # 2 zostanie bardzo dobrze anulowane.

Co do nr 3, dlaczego miałbyś go anulować?

Pochodzenie terminu „kolor”

Jaka jest różnica między tymi trzema dźwiękami? Pochodzi z analizy spektralnej . Jak wiesz od lat licealnych, możesz wysłać białe światło przez pryzmat i rozdzieli ono światło na różne kolory. To właśnie nazywamy białym: wszystkie kolory w przybliżeniu w tej samej proporcji. Żaden kolor nie dominuje.

obraz pochodzi z https://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9

Kolor to światło o określonej częstotliwości, lub można powiedzieć fale elektromagnetyczne o określonej długości fali, jak pokazano poniżej. Kolor czerwony ma niską częstotliwość w stosunku do niebieskiego, równoważnie kolor czerwony ma dłuższą długość fali prawie 800 nm w porównaniu do długości fali niebieskiej 450 nm.

obraz jest stąd: https://hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

Analiza spektralna

Jeśli weźmiesz szum, zarówno akustyczny, radiowy, jak i inny, i prześlesz go za pomocą narzędzia analizy spektralnej, takiego jak FFT, otrzymasz rozkład widmowy. Zobaczysz, ile z każdej częstotliwości jest w hałasie, jak pokazano na następnym zdjęciu z Wikipedii. Oczywiste jest, że nie jest to biały szum: ma wyraźne piki przy 50 Hz, 40 Hz itp.

Jeśli wystaje wąskie pasmo częstotliwości, wówczas nazywane jest kolorowym, ponieważ nie jest białe . Tak więc biały szum jest jak białe światło, ma szeroki zakres częstotliwości w przybliżeniu takim samym stosunku, jak pokazano na następnym rysunku z tej strony . Górny wykres pokazuje zapis amplitudy, a dolny pokazuje rozkład widmowy. Żadna częstotliwość nie wystaje. Więc hałas jest biały.

Idealny sinus

$\sin(2\pi t)$ $\phi=1/2$

E [\sin (2 π t) \times \sin (2 π (t + 1 / 2)] = - E [\sin^{2} (2 π t)] = - \frac{1}{2}

$E[\sin(2\pi t) \times \sin(2\pi (t+1/2)]=-E[\sin^2 (2\pi t)]=-\frac 1 2$

Zatem w obecności fali sinusoidalnej uzyskamy autokorelację w szeregu czasowym: wszystkie obserwacje w odstępie pół sekundy będą idealnie skorelowane ujemnie! Mówiąc, że nasze dane są tam, oznacza to, że nie ma żadnej autokorelacji. Oznacza to, że w sygnale nie ma fal. Widmo hałasu jest płaskie.

Niedoskonały przykład

Oto przykład, który stworzyłem na moim komputerze. Najpierw nagrałem swój kamerton , a potem nagrałem hałas fanów komputera. Następnie uruchomiłem następujący kod MATLAB, aby przeanalizować widma:

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

Oto sygnał i spektrum kamertonu. Zgodnie z oczekiwaniami ma szczyt przy około 440 Hz. Kamerton musi wytwarzać prawie idealny sygnał fali sinusoidalnej, jak w moim teoretycznym przykładzie wcześniej.

Następnie zrobiłem to samo z hałasem. Zgodnie z oczekiwaniami żadna częstotliwość nie wystaje. Oczywiście nie jest to biały szum, ale zbliża się do niego. Myślę, że musi być bardzo wysoka częstotliwość, to trochę mnie niepokoi. Muszę wkrótce zmienić wentylator. Jednak nie widzę tego w spektrum. Może dlatego, że mój mikrofon jest zbyt gburowaty lub częstotliwość próbkowania nie jest wystarczająco wysoka.

Dystrybucja nie ma znaczenia

Ważną częścią jest to, że w losowej sekwencji liczby nie są autokorelowane (ani nawet silniejsze, niezależne). Dokładny rozkład nie jest ważny. Może to być gaussowski lub gamma, ale dopóki liczby nie korelują w sekwencji, szum będzie biały.

— Aksakal
źródło

Chociaż tak naprawdę nie odpowiedziałeś na pytanie, twój opis jest tak dobrze zrobiony, że i tak nie mogłem powstrzymać się od głosowania nad postem :-).

— whuber

Kolory hałasu są niezwykle interesujące. Moim ulubionym jest różowy (1 / f), który zbliża się do „przyjemnych” naturalnych zjawisk, takich jak muzyka

— HEITZ

Tak, Pink ma przyjemną muzykę;)

— Mottie,

„Jeśli używasz słuchawek redukujących hałas, wiesz, że [płacz dziecka] nie można anulować. Z łatwością przebije każdy telefon.”. Myślę, że jest to właściwość ludzkiej percepcji, a nie nieodłączna właściwość dźwięku. Płacz dziecka jest najbardziej rozpraszającym hałasem z oczywistych powodów. theguardian.com/science/2012/oct/17/crying-babies-hard-ignore

— DrMcCleod

Hm, jesteś pewien, że hałas oceanów i lasów jest biały? Zakładałbym, że jest różowy lub czerwony.

— rura

Biały szum oznacza po prostu, że sekwencja próbek jest nieskorelowana ze średnią zerową i skończoną wariancją. Nie ma ograniczeń co do rozkładu, z którego pobierane są próbki. Teraz, jeśli próbki zostały wyciągnięte z rozkładu normalnego, masz specjalny rodzaj białego szumu zwanego białym szumem Gaussa.

— Moss Morderca
źródło

Losowe liczby IID będą generować biały szum, ale biały szum nie wymaga iid

— Aksakal

Nie sądzę, że implikowałem próbki IID. Ale masz rację w tym sensie, że moje stwierdzenie narzuciło silniejsze niż to konieczne warunki - powinienem był powiedzieć nieskorelowaną i skończoną wariancję zamiast wariancji niezależnej i stałej.

— Moss Morderca

@Richard Hardy: Tak, właśnie to zrobiłem.