Uzyskaj łączny rozkład z parowania marginalnego rozkładu

Załóżmy, że mamy 3 zmienne losowe i znamy parowy rozkład krańcowy , ale nic nie wiemy (np. warunkowa niezależność). Czy możemy uzyskać wspólny rozkład $X_1,X_2,X_3$ $P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$ $P(X_1,X_2,X_3)$ ?

probability distributions

— starry1990
źródło

Nie.

Rozważmy trójwartościowy rozkład z dwuwymiarowymi (standardowymi, niezależnymi) marginesami normalnymi, ale z połową oktantów o zerowym prawdopodobieństwie i połową o podwójnym prawdopodobieństwie. W szczególności rozważ oktany ---, - ++, + - +, ++ - mają podwójne prawdopodobieństwo.

Wówczas marginesy dwuwymiarowe są nierozróżnialne od tego, który można uzyskać dzięki trzem standardowym zmiennym normalnym. Rzeczywiście, istnieje nieskończona liczba trójdzielnych rozkładów, które wytwarzałyby te same marginesy dwuwymiarowe

Jak zauważa Dilip Sawarte w komentarzach, omawiał w zasadzie ten sam przykład w odpowiedzi (ale odwracając oktany, które są podwojone i zerowane), i definiuje go w bardziej formalny sposób. Whuber wspomina o wariancie Bernoulliego, który (w przypadku trywialnym) wygląda następująco:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... gdzie byłby każdy dwuwymiarowy margines

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4

i tak byłoby równoznaczne z przypadkiem trzech niezależnych zmiennych (lub faktycznie trzech z dokładnie odwrotną formą zależności).

Blisko spokrewniony przykład, o którym początkowo pisałem, dotyczył munduru trójskładnikowego z naprzemiennymi „wycinkami” we wzorze szachownicy o większym i mniejszym prawdopodobieństwie (uogólniając zwykłe zero i podwójne).

Tak więc nie można obliczyć ogólnie trójwartościowego marginesu dwuwymiarowego.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

X_{i}

$X_i$

(1 / 2)

$(1/2)$

X_{i}

$X_i$

+1 Rozkład trywialny jest szczegółowo opisany w mojej odpowiedzi, z wyjątkiem tego, że użyłem oktanów

+ + +, + - -, - + -, - - +

$+++, +--, -+-, --+$ zamiast. Jest to oczywiście związane ze zmiennymi losowymi Bernoulliego wspomnianymi przez @whuber, który, jak sądzę, pochodzi z Bernsteina.

— Dilip Sarwate,

Ale w mniej sztucznych przypadkach może uda się ustalić pewne granice?

— kjetil b halvorsen

tu musi być rozwiązanie kopuły. Twierdzenie Sklar ma rozszerzenie na przypadek n-wymiarowy, a tam masz tylko marginesy, a nie dwuwymiarowe marginesy, które mają więcej informacji

— Aksakal

Aksakal Sama kopula całkowicie określa strukturę zależności, a nie marginesy. Fakt, że możesz zachować marginesy, ale zmienić kopułę, jest tutaj prostszą wersją tego samego problemu.

— Glen_b