Nieformalnie rozkład prawdopodobieństwa określa względną częstotliwość wyników zmiennej losowej - oczekiwaną wartość można traktować jako średnią ważoną tych wyników (ważoną częstotliwością względną). Podobnie oczekiwaną wartość można traktować jako średnią arytmetyczną zbioru liczb wygenerowanych dokładnie proporcjonalnie do ich prawdopodobieństwa wystąpienia (w przypadku ciągłej zmiennej losowej nie jest to do końca prawdą, ponieważ określone wartości mają prawdopodobieństwo ).0
Związek między wartością oczekiwaną a średnią arytmetyczną jest najbardziej wyraźny w przypadku dyskretnej zmiennej losowej, gdzie wartość oczekiwana wynosi
mi( X) = ∑S.x P.( X= x )
gdzie jest przestrzenią próbki. Na przykład załóżmy, że masz dyskretną losową zmienną taką, że:XS.X
X= ⎧⎩⎨12)3)z prawdopodobieństwem 1 / 8z prawdopodobieństwem 3 / 8z prawdopodobieństwem 1 / 2
Oznacza to, że funkcja masy prawdopodobieństwa wynosi , , a . Korzystając z powyższego wzoru, oczekiwaną wartością jestp ( X = 2 ) = 3 / 8 p ( X = 3 ) = 1 / 2P.( X= 1 ) = 1 / 8P.( X= 2 ) = 3 / 8P.( X= 3 ) = 1 / 2
mi( X) = 1 ⋅ ( 1 / 8 ) + 2 ⋅ ( 3 / 8 ) + 3 ⋅ ( 1 / 2 ) = 2.375
Rozważmy teraz liczby generowane z częstotliwościami dokładnie proporcjonalnymi do funkcji masy prawdopodobieństwa - na przykład zbiór liczb - dwa s, sześć si osiem s. Teraz weź średnią arytmetyczną tych liczb:{ 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 }123
1+1+2+2+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+316=2.375
i widać, że jest dokładnie równa oczekiwanej wartości.