Jeśli X i Y są nieskorelowane, to czy X ^ 2 i Y są również nieskorelowane?

29

Jeśli dwie zmienne losowe i są nieskorelowane, to czy możemy również wiedzieć, że i nie są skorelowane? Moja hipoteza jest twierdząca. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

nieskorelowane oznacza lub $X, Y$ $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Czy to oznacza także, co następuje?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— Vegard Stikbakke
źródło

4

Tak. To pytanie zostało już zadane i udzielono odpowiedzi, ale nie mogę znaleźć konkretnego odniesienia na moim urządzeniu mobilnym.

— Dilip Sarwate,

2

@DilipSarwate wydaje się, że zaakceptowana odpowiedź już daje przeciwny przykład.

— Vim

8

@DilipSarwate W swoim komentarzu musiałeś oznaczać „Nie” zamiast „Tak”!

— ameba mówi Przywróć Monikę

11

@amoeba Oryginalna wersja pytania dotyczącego niezależności, na które odpowiedź brzmi tak. Od tego czasu został zredagowany, aby zapytać o nieskorelowane zmienne losowe. Nie mogę teraz zmienić mojego komentarza.

— Dilip Sarwate,

Pierwotne pytanie było dość niejasne, ponieważ użyto błędnej definicji niezależności. Obecne pytanie jest nadal mylone, ponieważ zakłada niewłaściwe odliczenie od braku korelacji (zakłada

). Mam nadzieję, że @vegardstikbakke czyta właściwe definicje niezależnych i nieskorelowanych, z kilkoma przykładami.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

— Meni Rosenfeld,

Odpowiedzi:

59

Nie. Kontrprzykład:

$X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

$E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

$E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

$f_X$ $y$

— Jakub Bartczuk
źródło

8

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

1

Powinieneś także dodać fabułę. Rozważałem podobny przykład (Y = | X | na -1: +1), ale przedstawiłbym to wizualnie.

— Anony-Mousse,

2

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

1

@ Anony-Mousse Nie trzeba ograniczać Y. Y = | X | spełnia wymagania.

— Loren Pechtel,

LorenPechtel do wizualizacji. Ponieważ IMHO lepiej zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, a nie tylko, że wynik matematyki jest pożądany.

— Anony-Mousse,

20

$\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

$\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

$X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

$X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— Silverfish
źródło

9

$E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— Luca Citi
źródło

Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.