Czy istnieje generalizacja śladu Pillai i śladu Hotellinga-Lawleya?

W ustawieniu wielowymiarowej regresji wielokrotnej (regresor wektorowy i regresja i) cztery główne testy ogólnej hipotezy (Lambda Wilka, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley i największa korzeń Roya) zależą od wartości własnych macierzy $H E^{-1}$ , gdzie $H$ i $E$ są „objaśnionymi” i „całkowitymi” macierzami zmienności.

I zauważył, że dane statystyczne Pillai i Hotellinga-Lawley mogą być oba wyrażone jako odpowiednio dla . Patrzę na aplikację, w której rozkład tego śladu, zdefiniowany dla analogów populacji i , jest interesujący dla przypadku . (błędy modulo w mojej pracy.) Jestem ciekawy, czy istnieje pewne znane ujednolicenie przykładowych statystyk dla ogólnego

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$ lub inne uogólnienie, które obejmuje dwa lub więcej z czterech klasycznych testów. Zdaję sobie sprawę, że dla

κ

$\kappa$ nie równego

0

$0$ lub

1

$1$ , licznik nie wygląda już jak chi-kwadrat pod zerą, więc centralne przybliżenie F wydaje się wątpliwe, więc może to jest ślepy zaułek.

Mam nadzieję, że były badania nad rozkładem $\psi_{\kappa}$ poniżej wartości zerowej ( tj . Prawdziwa macierz współczynników regresji wynosi zero) i zgodnie z alternatywą. Interesuje mnie szczególnie przypadek $\kappa = 2$ , ale jeśli są prace nad ogólnym przypadkiem $\kappa$ , mógłbym oczywiście tego użyć.

— shabbychef
źródło

Zaraz,

to odmiana wyjaśniona „

to odmiana „T”? Sprawdzam tylko moje mnemoniki.

H

$H$

E

$E$

— kardynał

@ cardinal, to prawda. Gdy

jest wielowymiarowy najmniejszych kwadratów do pasowania współczynników korelacji mamy

Przegląd (dosłownie) dużego obrazu autorstwa Michaela Friendlya był dla mnie bardzo przydatny: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

Dzięki! Zobaczę. (Nawiasem mówiąc, po prostu dokuczałem na podstawie wyboru liter, „h” dla „wyjaśniono” i „e” dla „całości”. Przy okazji, ciekawe pytanie; (+1) ode mnie.

— kardynał

@ kardynał Nie byłem wystarczająco kofeinowy, aby zauważyć żart. Tak, mnemoniki są złe, ale wybór

) jest raczej standardowy.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— shabbychef

Żart był na tyle zły, że wymagałoby to dużej ilości kofeiny.

— kardynał

Wyobrażam sobie, że produktywne uogólnienia wynikłyby z obserwacji tego

${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
$HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
$\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

$\psi_2$

— StasK
źródło

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$