Czy przedziały ufności dla współczynników regresji liniowej powinny być oparte na rozkładzie normalnym czy ?

Miejmy jakiś model liniowy, na przykład po prostu ANOVA:

# data generation
set.seed(1.234)                      
Ng <- c(41, 37, 42)                    
data <- rnorm(sum(Ng), mean = rep(c(-1, 0, 1), Ng), sd = 1)      
fact <- as.factor(rep(LETTERS[1:3], Ng)) 

m1 = lm(data ~ 0 + fact)
summary(m1)

Wynik jest następujący:

Call:
lm(formula = data ~ 0 + fact)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-2.30047 -0.60414 -0.04078  0.54316  2.25323 

Coefficients:
      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
factA  -0.9142     0.1388  -6.588 1.34e-09 ***
factB   0.1484     0.1461   1.016    0.312    
factC   1.0990     0.1371   8.015 9.25e-13 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.8886 on 117 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.4816,     Adjusted R-squared: 0.4683 
F-statistic: 36.23 on 3 and 117 DF,  p-value: < 2.2e-16

Teraz próbuję dwóch różnych metod, aby oszacować przedział ufności tych parametrów

c = coef(summary(m1))

# 1st method: CI limits from SE, assuming normal distribution
cbind(low = c[,1] - qnorm(p = 0.975) * c[,2], 
    high = c[,1] + qnorm(p = 0.975) * c[,2])

# 2nd method
confint(m1)

Pytania:

Jaki jest rozkład szacowanych współczynników regresji liniowej? Normalny czy ? $t$
Dlaczego obie metody dają różne wyniki? Zakładając, że rozkład normalny i poprawny SE, oczekiwałbym, że obie metody będą miały ten sam wynik.

Dziękuję Ci bardzo!

dane ~ 0 + fakt

EDYCJA po odpowiedzi :

Odpowiedź jest dokładna, da to dokładnie taki sam wynik jak confint(m1)!

# 3rd method
cbind(low = c[,1] - qt(p = 0.975, df = sum(Ng) - 3) * c[,2], 
    high = c[,1] + qt(p = 0.975, df = sum(Ng) - 3) * c[,2])

r regression confidence-interval

— Ciekawy
źródło

powiązane: stats.stackexchange.com/questions/111559/…

— Curious

(1) Gdy błędy są zwykle dystrybuowane, a ich wariancja nie jest znana, wówczas ma rozkład pod hipotezą zerową, że jest prawdziwym współczynnikiem regresji. Domyślnie jest to test , więc statystyki podają, że są tylko

\frac{\hat{β} - β_{0}}{s e (\hat{β})}

$\frac{\hat{\beta} - \beta_0}{{\rm se}(\hat{\beta})}$

t

$t$

β_{0}

$\beta_0$ R

β_{0} = 0

$\beta_0 = 0$

t

$t$

\frac{\hat{β}}{s e (\hat{β})}

$\frac{\hat{\beta}}{{\rm se}(\hat{\beta})}$

Należy zauważyć, że w niektórych warunkach prawidłowości powyższa statystyka jest zawsze asymptotycznie normalnie rozłożona, niezależnie od tego, czy błędy są normalne, czy też znana jest wariancja błędu.

(2) Powodem, dla którego otrzymujesz inne wyniki, jest to, że percentyle rozkładu normalnego różnią się od percentyli rozkładu . Dlatego mnożnik używany przed błędem standardowym jest inny, co z kolei daje różne przedziały ufności. $t$

W szczególności pamiętaj, że przedział ufności z wykorzystaniem rozkładu normalnego wynosi

\hat{β} \pm z_{α / 2} \cdot s e (\hat{β})

$\hat{\beta} \pm z_{\alpha/2} \cdot {\rm se}(\hat{\beta})$

gdzie jest kwantylem rozkładu normalnego. W standardowym przypadku przedziału ufności i . Przedział ufności oparty na rozkładzie wynosi $z_{\alpha/2}$ $\alpha/2$ $95\%$ $\alpha = .05$ $z_{\alpha/2} \approx 1.96$ $t$

\hat{β} \pm t_{α / 2, n - p} \cdot s e (\hat{β})

$\hat{\beta} \pm t_{\alpha/2,n-p} \cdot {\rm se}(\hat{\beta})$

gdzie mnożnik opiera się na kwantylach dystrybucji o stopniach swobody, gdzie jest wielkością próby, a jest liczbą predyktorów. Gdy jest duże, i są mniej więcej takie same. $t_{\alpha/2,n-p}$ $t$ $n-p$ $n$ $p$ $n$ $t_{\alpha/2,n-p}$ $z_{\alpha/2}$

Poniżej znajduje się wykres mnożników dla wielkości próbek od do (założyłem dla tego wykresu, ale to jakościowo niczego nie zmienia). W -multipliers są większe, ale, jak to widać poniżej, ale są zbieżne do (stały mnożnik czarna linia) wraz ze wzrostem wielkości próbki. $t$ $5$ $300$ $p=1$ $t$ $z$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

— Makro
źródło

Tak!! Niezła robota !! (+1)

— gui11aume

Makro, dziękuję za odpowiedź. Ale: mówisz o rozkładzie statystyki T, podczas gdy ja pytałem o rozkład współczynnika regresji. Rozumiem, że współczynnik regresji jest rozkładem charakteryzującym się jego średnią (oszacowaniem współczynnika) i błędem standardowym. Zapytałem o ten rozkład, a nie rozkład statystyk testowych. Mogę coś przeoczyć, więc spróbuj wyjaśnić w bardziej oczywisty sposób :) Dzięki

— Ciekawy

@Tomas, Dobre pytanie. Jak napisałem powyżej, ma rozkład . Dlatego, zgodnie z hipotezą zerową, ma rozkład który jest przesuwany i skalowany (odpowiednio przez i ). Ale w przypadku dużych próbek, ponieważ rozkład t zbiega się z normą wraz ze wzrostem stopni swobody, ma rozkład normalny (przesunięty i skalowany w ten sam sposób). Czy to coś dla ciebie wyjaśnia?

\frac{\hat{β} - β_{0}}{s e (\hat{β})}

$\frac{ {\hat \beta}−β_{0}}{{\rm se}(\hat β)}$

t

$t$

\hat{β}

$\hat β$

t

$t$

β_{0}

$β_0$

s e (\hat{β})

${\rm se}(\hat β)$

\hat{β}

$\hat β$

— Makro

Masz rację! To da dokładnie taki sam wynik, jak confint(m1)w przypadku nawet małych próbek! cbind(low = c[,1] - qt(p = 0.975, df = sum(Ng) - 3) * c[,2], high = c[,1] + qt(p = 0.975, df = sum(Ng) - 3) * c[,2])

— Ciekawy

Przy zwykłych założeniach wymaganych do wyprowadzenia normalnego wnioskowania z teorii dla regresji liniowej (a więc ) jest zdecydowanie normalnie rozłożony poniżej wartości zerowej, ale nawet poniżej wartości zerowej ma nieznaną wariancję . Nie możesz go porównać do niczego, ponieważ nie wiesz, z którego normalnego rozkładu pochodzi (nie masz bezpośredniego sposobu, aby stwierdzić, czy jest on wyjątkowo daleki od czy nie). Skalując według szacowanego błędu standardowego, standaryzujesz go - czyniąc go „porównywalnym”, ale nie jest już normalny, jest rozkładany na „ ”.

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\hat{β} - β_{0}

$\hat{\beta}-\beta_0$

β_{0}

$\beta_0$

t

$t$

— Glen_b