Działanie przypadku w deterministycznym świecie

15

Zauważa to w książce Stevena Pinkera Better Angels of Our Nature

Prawdopodobieństwo jest kwestią perspektywy. Patrząc z wystarczająco bliskiego zasięgu, poszczególne zdarzenia mają określone przyczyny. Nawet rzut monetą można przewidzieć na podstawie warunków początkowych i praw fizyki, a wykwalifikowany mag może wykorzystać te prawa, aby za każdym razem rzucać głową. Kiedy jednak pomniejszamy widok szerokokątny dużej liczby tych wydarzeń, widzimy sumę ogromnej liczby przyczyn, które czasem się znoszą, a czasem wyrównują w tym samym kierunku. Fizyk i filozof Henri Poincare wyjaśnił, że widzimy działanie przypadku w deterministycznym świecie albo wtedy, gdy duża liczba drobnych przyczyn składa się na potężny efekt, albo gdy mała przyczyna, która umknie naszej uwadze, określa duży efekt, którego nie możemy przegapić .W przypadku zorganizowanej przemocy ktoś może chcieć rozpocząć wojnę; czeka na odpowiedni moment, który może, ale nie musi; jego wróg decyduje się na atak lub wycofanie; pociski lecą; wybuchły bomby; ludzie umierają. Każde zdarzenie może być określone przez prawa neuronauki oraz fizyki i fizjologii. Ale w sumie wiele przyczyn, które trafiają do tej macierzy, można czasem przekształcić w ekstremalne kombinacje. (str. 209)

Szczególnie interesuje mnie odważne zdanie, ale resztę daję na kontekst. Moje pytanie: czy istnieją statystyczne sposoby opisania dwóch procesów opisanych przez Poincare? Oto moje domysły:

1) „Duża liczba drobnych przyczyn składa się na potężny efekt”. „Duża liczba przyczyn” i „sumowanie” brzmią dla mnie jak centralne twierdzenie graniczne . Ale w (klasycznej definicji) CLT przyczyną muszą być zmienne losowe, a nie skutki deterministyczne. Czy jest tu standardowa metoda aproksymacji tych deterministycznych efektów jako pewnego rodzaju zmienna losowa?

2) „Mała przyczyna, która uchyla się od naszego zawiadomienia, determinuje duży efekt, którego nie możemy przegapić”. Wydaje mi się, że można by pomyśleć o tym jako o jakimś ukrytym modelu Markowa . Ale (nieobserwowalne) prawdopodobieństwa przejścia stanu w HMM są właśnie tymi prawdopodobieństwami, które z definicji znów nie są deterministyczne.

probability central-limit-theorem intuition

— Andy McKenzie
źródło

7

Ciekawa myśl (+1).

W przypadkach 1) i 2) problem jest taki sam: nie mamy pełnych informacji. Prawdopodobieństwo jest miarą braku informacji.

1) Drobne przyczyny mogą być czysto deterministyczne, ale których konkretnych przyczyn nie da się poznać w procesie deterministycznym. Pomyśl o cząsteczkach w gazie. Obowiązują zasady mechaniki, więc co tu jest losowe? Informacje dla nas ukryte: gdzie jest cząsteczka z jaką prędkością. Tak więc CLT ma zastosowanie nie dlatego, że w systemie występuje przypadkowość, ale dlatego, że w naszej reprezentacji systemu występuje losowość .

2) W HMM występuje element czasu, który niekoniecznie występuje w tym przypadku. Moja interpretacja jest taka sama jak poprzednio, system może być nieprzypadkowy, ale nasz dostęp do jego stanu ma pewną losowość.

EDYCJA : Nie wiem, czy Poincare myślał o innym podejściu statystycznym dla tych dwóch przypadków. W przypadku 1) znamy zmienne, ale nie możemy ich zmierzyć, ponieważ jest ich zbyt wiele i są za małe. W przypadku 2) nie znamy zmiennych. Oba sposoby kończą się przyjmowaniem założeń i modelowaniem obserwowalnego najlepiej, jak potrafimy, i dość często zakładamy Normalność w przypadku 2).

Ale nadal, gdyby nie było jedną różnicę, myślę, że byłoby powstanie . Gdyby wszystkie układy były określone sumami drobnych przyczyn, wówczas wszystkie zmienne losowe świata fizycznego byłyby gaussowskie. Oczywiście tak nie jest. Dlaczego? Ponieważ skala ma znaczenie. Dlaczego? Ponieważ nowe właściwości powstają w wyniku interakcji na mniejszą skalę, a te nowe właściwości nie muszą być gaussowskie. Właściwie nie mamy teorii statystycznej na temat pojawienia się (o ile mi wiadomo), ale może kiedyś to zrobimy. Wtedy uzasadnione będzie zastosowanie różnych metod statystycznych dla przypadków 1) i 2)

— gui11aume
źródło

1

Dziękuję za odpowiedź. Zgadzam się, że oba sprowadzają się do faktu, że nie mamy pełnych informacji - to dobry sposób na ich sformułowanie. Chciałbym jednak zobaczyć odpowiedź, która bardziej rozróżnia te dwa przypadki. Co myślał Poincare?

— Andy McKenzie,

Widzę, że się martwisz. Zredagowałem swoją odpowiedź, aby spróbować odpowiedzieć najlepiej, jak potrafię.

— gui11aume

4

Myślę, że za dużo czytasz w oświadczeniu. Wydaje się, że wszystko opiera się na założeniu, że świat jest deterministyczny i że ludzie modelują go probabilistycznie, ponieważ łatwiej jest oszacować, co się dzieje na tej drodze, niż przejrzeć wszystkie szczegóły fizyki i wszelkich innych równań matematycznych, które ją opisują. Myślę, że od dawna trwa debata na temat determinizmu i efektów losowych, szczególnie między fizykiem a statystyką. Szczególnie uderzyły mnie następujące zdania poprzedzające to, co odważyłeś się. „Nawet rzut monetą można przewidzieć na podstawie warunków początkowych i praw fizyki, a wykwalifikowany mag może wykorzystać te prawa, by za każdym razem rzucać głowami”. Kiedy pod koniec lat siedemdziesiątych byłem studentem Stanfordu, Persi Diaconis, statystyk i magik, a także Joe Keller, fizyk próbował zastosować prawa fizyki do monety, aby ustalić, co otucome będzie oparte na wstępnych warunkach dotyczących tego, czy lub nie głowy są skierowane do góry i dokładne; jak siła uderzenia palcem uderza w monetę. myślę, że mogli to wypracować. Ale myślenie, że magik, nawet z magicznym treningiem i wiedzą statystyczną persi diaconis, może rzucić monetą i sprawić, by za każdym razem wpadła do głowy, jest niedorzeczne. Uważam, że stwierdzili, że niemożliwe jest odtworzenie warunków początkowych i myślę, że teoria chaosu ma zastosowanie. Małe zaburzenia w stanie początkowym mają duży wpływ na lot monety i sprawiają, że wynik jest nieprzewidywalny. Jako statystyk powiedziałbym, że nawet jeśli świat jest deterministycznymi modelami stochastycznymi, lepiej przewidują wyniki niż złożone prawa deterministyczne. Gdy fizyka jest prosta, można i należy stosować prawa deterministyczne. Na przykład prawo grawitacji Newtona działa dobrze przy określaniu prędkości, jaką ma obiekt, gdy uderza w ziemię, zrzucanej z wysokości 10 stóp nad ziemią i przy użyciu równania d = gt /2 może rozwiązać na czas potrzebny do ukończenia upadek bardzo dokładnie, jak to dobrze, ponieważ stała grawitacyjna g została ustalona na wysokim poziomie dokładności i równanie stosuje się prawie dokładnie. $^2$

— Michael R. Chernick
źródło

2

Michael Chernick, możesz być zainteresowany tym artykułem o Diaconis.

— Cyan

Zastąpiłbym zdanie „... ludzie modelują to probabilistycznie, ponieważ łatwiej jest oszacować, co się dzieje w ten sposób ...” „” ludzie „modelują to probabilistycznie, ponieważ zbyt trudno jest uwzględnić drobne szczegóły, które przez większość czasu nie ma znaczenia ... ”. Dodatkowo przyjmujesz „praktyczne” podejście do bardziej filozoficznego / koncepcyjnego pytania. Teoria chaosu jest jedynie problemem „w praktyce”, ponieważ nie mamy arbitralnie dokładnych reprezentacji liczb. Kolejnym problemem związanym z prawami deterministycznymi jest to, że często zależą one od rzeczy, których nie możemy zmierzyć.

— probabilityislogic

1

Dzięki Cyan. Nie widziałem tego konkretnego artykułu, ale widziałem kilka innych o Persi i całkiem dobrze go znałem jako byłego asystenta profesora, który nauczył mnie teorii prawdopodobieństwa i szeregów czasowych, gdy oboje byliśmy w późnych latach dwudziestych i trzydziestych w latach 1974–1978 . Również Persi kazał mi i Michaelowi Cohenowi (kiedy oboje z Michaelem Cohenem byliśmy doktorantami) rolę ogolić kostkami na tkaninie setki lub tysiące razy, aby potwierdzić jego teorię na temat tego, jakie byłyby uprzedzenia dla tego rodzaju golenia.

— Michael R. Chernick

1

Jak każdy dobry eksperymentator nie powiedział nam, że są ogolone i nie było tak dużej różnicy w obszarze, aby było to zauważalne dla oka. oczywiście, jeśli chcesz oszukać zakład hazardowy za pomocą ogolonych kości, nie możesz golić się tak mocno, aby było to zauważalne, a jednak nie tak małe, że zajęłoby ci wieczność, aby zdobyć dobre wygrane i uniknąć ruiny graczy. Oczywiście mieliśmy pewne podejrzenia co do eksperymentu, ponieważ nie było sensu potwierdzać, że każda ze stron podchodzi bardzo blisko w 1/6 przypadków.

— Michael R. Chernick

Również robienie eksperymentu, aby pokazać, że możesz popchnąć uczciwą monetę na korzyść głów, nie jest w stanie uzyskać głowy za każdym razem. Statystycy są wykorzystywani przez komisje loterii do testowania swoich maszyn, aby upewnić się, że są uczciwe.

— Michael R. Chernick

4

$2^{-N}$ $2^N$

$N$ $a_n \sim b_n$ $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$

(\binom{N}{N f}) \sim \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- N H (f))

${N\choose Nf}\sim\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-NH(f)\right)$

$H(f)=f\log\left(f\right)+(1-f)\log\left(1-f\right)$ $H(f)$ $\frac{1}{2}$

H (f) \approx - \log (2) + 2 (f - \frac{1}{2})^{2}

$H(f)\approx-\log\left(2\right)+2(f-\frac{1}{2})^2$

Mamy więc również:

(\binom{N}{N f}) \sim 2^{N} \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- \frac{2}{N} (N f - \frac{N}{2})^{2})

${N\choose Nf}\sim 2^N\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-\frac{2}{N}(Nf-\frac{N}{2})^2\right)$

$f$

— prawdopodobieństwo prawdopodobieństwa
źródło

1

Dziękuję Ci. Wydaje mi się, że OP nie czytał zbyt wiele w łączeniu pogrubionego zdania z CLT. Ale czy mogę się upewnić, że dobrze to rozumiem? Czy mówisz, że dla dużych N liczba kombinacji N rzeczy wziętych Nf na raz jest w przybliżeniu równa gęstości normalnej z parametrem wariancji Nf (1-F) i średnim parametrem N / 2? Czy to tylko asymptotyczna właściwość matematyczna bez związku z prawdopodobieństwem? Jest to tak niesamowite, jak zobaczenie centralnego twierdzenia granicznego De Moivre - LaPlace w akcji przy użyciu urządzenia quincunx!

— Michael R. Chernick

Dzięki, bardzo pomocne jest myślenie o rozkładzie normalnym nieprobabilistycznie. Nie rozumiem jednak 1) jak powstaje ten pierwszy limit i 2) w jakim punkcie robisz rozszerzenie serii Taylora.

— Andy McKenzie,

1

a_{n} \sim b_{n}

$a_n \sim b_n$

a_{n} / b_{n} \to 1

$a_n / b_n \to 1$

Edycje wyglądają lepiej. Jednak w pierwszym równaniu wyświetlania wciąż musi być brakujący termin. :)

— kardynał

\log (N)

$\log(N)$

0

Cytat z książki Pinkera i idea deterministycznego świata całkowicie ignorują Mechanikę Kwantową i Niepewną zasadę Heisenberga. Wyobraź sobie, że umieszczasz niewielką ilość czegoś radioaktywnego w pobliżu detektora i układasz ilości i odległości w taki sposób, aby istniała 50% szansa na wykrycie zaniku podczas wcześniej określonego przedziału czasu. Teraz podłącz detektor do przekaźnika, który zrobi coś bardzo znaczącego, jeśli zostanie wykryty rozpad, i uruchom urządzenie raz i tylko raz.

Stworzyłeś teraz sytuację, w której przyszłość jest z natury nieprzewidywalna. (Ten przykład pochodzi z przykładu opisanego przez kogoś, kto uczył fizyki drugiego lub drugiego roku w MIT w połowie lat sześćdziesiątych.)

— Emil Friedman
źródło