Chwile rozkładu - jakikolwiek użytek na momenty częściowe lub wyższe?

Zwykle używa się drugiego, trzeciego i czwartego momentu rozkładu, aby opisać niektóre właściwości. Czy momenty cząstkowe lub momenty wyższe niż czwarty opisują jakieś użyteczne właściwości rozkładu?

distributions moments partial-moments

— Eduardas
źródło

Nie odpowiedzią, ale jedną rzeczą, o której należy pamiętać, jest to, że momenty wyższego rzędu wymagają znacznie więcej obserwacji, aby uzyskać pierwszą sygnaturę.

— izomorfizmy

Wpis wykorzystujący momenty częściowe to stats.stackexchange.com/questions/94402/… . Tak więc częściowe momenty mają jakiś użytek i prawdopodobnie mogłyby zostać wykorzystane więcej.

— kjetil b halvorsen

Odpowiedzi:

Oprócz specjalnych właściwości kilku liczb (np. 2) jedynym prawdziwym powodem wyróżnienia momentów całkowitych w przeciwieństwie do momentów ułamkowych jest wygoda.

Wyższe momenty można wykorzystać do zrozumienia zachowania ogona. Na przykład wyśrodkowana zmienna losowa o wariancji 1 ma ogony subgaussowskie (tj. dla niektórych stałych ) wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ dla każdegoi niektórych stałych. $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— Mark Meckes
źródło

wynik, który podajesz dla [sub] gaussowskich ogonów, nie wygląda dobrze. zgodnie z ograniczonym [

] cytujesz,norma

wyśrodkowanej zmiennej gaussowskiej nie przekroczyłaby [w granicach] 1, alenorma

rv zmierza do jej sup sup, która wynosi

dla zmiennej gaussowskiej.

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— ronaf,

Dzięki za złapanie tego. Zapomniałem wykładnika na RHS; jest teraz poprawione.

— Mark Meckes,

czy możesz podać odniesienie do tego wyniku?

— Gary

@Gary: niestety nie znam referencji (opublikowanych lub online); jest częścią folkloru mojej dziedziny, pisanego na kursach, ale zapisywanego jako „prosty i znany” w gazetach. Dowód jest jednak łatwy. Biorąc pod uwagę oszacowanie ogona, oszacowanie momentu wynika z całkowania przez części (tj.

) i wzoru Stirlinga. Biorąc pod uwagę oszacowanie momentu, oszacowanie ogona następuje po zastosowaniu nierówności Markowa i optymalizacji nad

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— Mark Meckes

Robię się podejrzliwy, kiedy słyszę, jak ludzie pytają o trzecią i czwartą chwilę. Istnieją dwa typowe błędy, o których ludzie często myślą, gdy podejmują ten temat. Nie twierdzę, że popełniacie te błędy, ale często się pojawiają.

Po pierwsze, wygląda na to, że domyślnie wierzą, że rozkłady można sprowadzić do czterech liczb; podejrzewają, że tylko dwie liczby to za mało, ale trzy lub cztery powinny być wystarczające.

Po drugie, brzmi to jak powrót do podejścia do statystyki opartego na dopasowywaniu momentów, które w dużej mierze przegrało z metodami największego prawdopodobieństwa we współczesnej statystyce.

Aktualizacja: Rozszerzyłem tę odpowiedź na post na blogu .

— John D. Cook
źródło

Jeden przykład użycia (interpretacja jest lepszym kwalifikatorem) wyższego momentu: piąty moment rozkładu jednowymiarowego mierzy asymetrię jego ogonów.

— użytkownik603
źródło

Ale czy trzeci (centralny) moment nie robi tego w bardziej stabilny i praktyczny sposób?

— whuber

@ Whuber:> trzeci mierzy ogólną asymetrię, co nie jest tym samym, co asymetria ogona. Z powodu wyższego wykładnika wartość piątego jest prawie całkowicie determinowana przez reszka.

— user603,

@Kwak: Dziękujemy za wyjaśnienie swojego znaczenia. Oczywiście, ta sama reakcja może być zastosowana do każdego nieparzystego momentu: mierzą asymetrię coraz bardziej w ogonach.

— whuber

@Whuber:> Oczywiście. Zwróć uwagę, że nawet w przypadku rozkładu o dość ogoniastym rozkładzie, takim jak gaussowski, do 7. momentu już działasz, porównując maksimum do min.

— user603,

@Kwak: Dwa szybkie pytania uzupełniające; nie musisz odpowiadać, jeśli nie chcesz. (1) „Fair tailed” ?? (2) Jakie są min. I maks. Gaussa?

— whuber