Rozkład rozkładu normalnego

Czy istnieje rozkład tylko dodatni, tak że różnica dwóch niezależnych próbek od tego rozkładu jest zwykle rozkładana? Jeśli tak, to czy ma prostą formę?

distributions probability

— Martin O'Leary
źródło

Interesujące pytanie! Rozkład normalny jest nieskończenie rozkładalny, co oznacza, że zawsze można zapisać go jako rozkład sumy dowolnej liczby zmiennych losowych. Ale to nie jest pytanie.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Xi'an

Jeśli przejdziesz do funkcji generowania momentu, pytanie brzmi, czy

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$ pozwala dla rozwiązania (in

φ

$\varphi$ ), które jest funkcją generującą moment zmiennej dodatniej ...

— Xi'an

Masz rację, @Dipip: różnica pół-normalna nie ma rozkładu normalnego. Problem nie polega na wariancji różnicy: sam kształt rozkładu nie jest normalny (jego kurtoza jest zbyt duża).

— whuber

Choć jest to oczywiste, może warto zauważyć, że stwierdzenie to jest w przybliżeniu poprawne. W końcu różnica między zmienną

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$ a zmienną

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$ ma rozkład

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$ a przez wybierając

μ

$\mu$ wystarczająco duże, możemy sprawić, że jedna ze zmiennych będzie ujemna tak mała, jak to pożądane.

— whuber

Odpowiedź na pytanie brzmi „nie” i wynika ze słynnej charakterystyki normalnych rozkładów.

Załóżmy, że i są niezależnymi zmiennymi losowymi. Tak samo są niezależne zmienne losowe i , i oczywiście możemy zapisać jako , suma dwóch niezależnych zmiennych losowych. Teraz, zgodnie z twierdzeniem wysuniętym przez P. Lévy'ego i udowodnionym przez H. Craméra (patrz Feller, rozdział XV.8, Twierdzenie 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Jeśli i są niezależnymi zmiennymi losowymi, a jest normalnie rozłożony, to zarówno jak i są normalnie rozłożone. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

OP pyta, czy istnieją iid dodatnie losowe zmienne i tak że jest normalnie rozłożony. Ale nawet jeśli zrezygnujemy z dodatnich i identycznych rozkładów i zachowamy tylko niezależność, normalność wymaga, aby zarówno jak i były normalnymi zmiennymi losowymi. Jak mówi Feller, „rozkładu normalnego nie można rozkładać inaczej niż w trywialny sposób”. $X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Dilip Sarwate
źródło

Miałem nieco nadzieję, że odpowiedź będzie twierdząca, ale dzięki! Nie mam łatwego dostępu do kopii Fellera - czy można naszkicować dowód twierdzenia? Wydaje się to dość sprzeczne z intuicją.

— Martin O'Leary,

Nawet Feller nie zawiera oryginalnego dowodu twierdzącego, że jest on oparty na teorii funkcji analitycznych, a zatem zupełnie różni się od jego podejścia do funkcji charakterystycznych.

— Dilip Sarwate,

Tak myślałem, ale to otwiera drzwi dla zmiennych zależnych. Próbowałem znaleźć sposób na zbudowanie zależności między 2 dodatnimi połówkami normalnymi, ale nie udało mi się sprawić, by zadziałało.

— Michael R. Chernick

no cóż, może ktoś powinien być bardziej zainteresowany próbą rozwiązania tego problemu

— Michael R. Chernick

Zadam to pytanie, a następnie możesz przeliterować swoją odpowiedź. Nie do końca śledzę, jak wygląda ta gęstość stawów i czy przyjmujesz Z = | X | - | Y |?

— Michael R. Chernick