Dlaczego w kwadratach łacińskich mówi się, że rzędy, zabiegi i kolumny są prostopadłe

Zawsze słyszałem „ortogonalne” w dziedzinie geometrii (proszę również pamiętać, że nie jestem rodzimym językiem angielskim). Nie rozumiem co do kwadratów łacińskich (cytat z podręcznika):

Każde leczenie (ABCD) pojawia się raz w każdym rzędzie. Dlatego zabiegi i rzędy są ortogonalne. ... Rzędy i kolumny są prostopadłe do zabiegów.

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

Co oznacza tutaj ortogonalność?

co to znaczy lub co robi plac łaciński

Ortogonalność kolumn $i$ i rzędy $j$oznacza, że ich efekt jest usuwany z wartości oczekiwanych dla niektórych zabiegów$k$ (A, B, C, D).

Zobacz wzór (model bez efektów krzyżowych)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

którego oczekiwanie na pewien poziom $k$ (A, B, C lub D) staje się następujący

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

pod warunkiem, że leczenie nie koreluje (jest ortogonalne) z rzędami i kolumnami.

leczenie dla A (i podobnie dla B, C i D) jest testowane tyle samo razy w każdym rzędzie, dzięki czemu można wyeliminować (uśrednić) wpływ rzędu na wartość oczekiwaną leczenia A.

ortogonalność

Nie jestem pewien, czy to jest początek etymologii, ale to właśnie wyobrażam sobie z ortogonalnością

W tym przykładzie masz następujące testy (kolumna, wiersz, leczenie):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

jeśli weźmiesz to jako matrycę $M$ i obliczyć $M^TM$ następnie uzyskuje się w elementach nieprzekątnych sumę produktów, w których każdy termin występuje tyle samo razy.

na przykład iloczyn pierwszej i trzeciej kolumny $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

i ta właściwość może być powiązana z ortogonalnością kolumn w macierzy