Liniowe modelowanie efektów mieszanych z danymi z badań bliźniaczych

Załóżmy, że mam jakąś zmienną odpowiedzi która została zmierzona od tego rodzeństwa w tej rodzinie. Ponadto niektóre dane behawioralne zebrano w tym samym czasie od każdego pacjenta. Próbuję przeanalizować sytuację za pomocą następującego liniowego modelu mieszanych efektów: $y_{ij}$ $j$ $i$ $x_{ij}$

y_{i j} = α_{0} + α_{1} x_{i j} + δ_{1 i} x_{i j} + ε_{i j}

$y_{ij} = \alpha_0 + \alpha_1 x_{ij} + \delta_{1i} x_{ij} + \varepsilon_{ij}$

gdzie i oznaczają odpowiednio stały punkt przecięcia i nachylenie, jest nachyleniem losowym, a jest wartością resztkową. $\alpha_0$ $\alpha_1$ $\delta_{1i}$ $\varepsilon_{ij}$

Założenia dla efektów losowych oraz resztkowego są (przy założeniu, że w każdej rodzinie jest tylko dwoje rodzeństwa) $\delta_{1i}$ $\varepsilon_{ij}$

\begin{aligned} δ_{1 i} & \overset{d}{\sim} N (0, τ^{2}) \\ (ε_{i 1}, ε_{i 2})^{T} & \overset{d}{\sim} N ((0, 0)^{T}, R) \end{aligned}

$\begin{align} \delta_{1i} &\stackrel{d}{\sim} N(0, \tau^2) \\[5pt] (\varepsilon_{i1}, \varepsilon_{i2})^T &\stackrel{d}{\sim} N((0, 0)^T, R) \end{align}$

gdzie jest nieznanym parametrem wariancji, a struktura wariancji-kowariancji jest symetryczną macierzą formy 2 x 2 $\tau^2$ $R$

(\begin{matrix} r_{1}^{2} & r_{12}^{2} \\ r_{12}^{2} & r_{2}^{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} r_1^2&r_{12}^2\\ r_{12}^2&r_2^2 \end{pmatrix}$

który modeluje korelację między dwojgiem rodzeństwa.

Czy jest to odpowiedni model dla takiego rodzeństwa?
Dane są nieco skomplikowane. Spośród 50 rodzin blisko 90% z nich to bliźnięta dizygotyczne (DZ). Dla pozostałych rodzin
1. dwoje ma tylko jedno rodzeństwo;
2. dwa mają jedną parę DZ i jedno rodzeństwo; i
3. dwa mają jedną parę DZ i dwa dodatkowe rodzeństwo.
Wierzę, lmeże pakiet R nlmemoże łatwo poradzić sobie (1) z brakującą lub niezrównoważoną sytuacją. Mam problem z tym, jak sobie radzić z (2) i (3)? Jedną z możliwości, jaką mogę wymyślić, jest podzielenie każdej z tych czterech rodzin w (2) i (3) na dwie części, tak aby każda podrodzina miała jedno lub dwoje rodzeństwa, tak aby powyższy model mógł być nadal stosowany. Czy to w porządku? Inną opcją byłoby po prostu wyrzucenie danych z dodatkowego jednego lub dwóch rodzeństwa w (2) i (3), co wydaje się marnotrawstwem. Jakieś lepsze podejścia?
Wydaje się, że lmepozwala to ustalić wartości pozostałej macierzy wariancji-kowariancji , na przykład = 0,5. Czy ma sens narzucanie struktury korelacji, czy powinienem ją po prostu oszacować na podstawie danych? $r$ $R$ $r_{12}^2$

— bluepole
źródło

Co oznacza

x_{j}

$x_j$

— Makro

@Macro: Dzięki za wykrycie tego. Właśnie zmodyfikowałem OP, aby wskazać, że

jest zmienną objaśniającą, miarą behawioralną dla każdego rodzeństwa.

x_{i j}

$x_{ij}$

— bluepole

Bardzo interesujące pytanie i aplikacja. Mogłem coś przeoczyć, ale wydaje mi się, że ten model jest zbyt sparametryzowany. Skorelowane błędy

można skutecznie rozdzielić na komponenty „współdzielone” i „współdzielone”, przy czym ten ostatni ma taką samą funkcję jak

. Musisz albo usunąć

, zrobić

ϵ_{i 1}, ϵ_{i 2}

$ϵ_{i1},ϵ_{i2}$

δ_{0 i}

$δ_{0i}$

δ_{0 i}

$\delta_{0i}$

ϵ

$\epsilon$ „s IID błędów, ani nie nakłada ograniczeń, takich jak

rozpoznawalności - robisz to na celu oddzielenie składników środowiskowych / genetyczna korelację między rodzeństwem?

r_{12}^{2} = .5

$r^2_{12} = .5$

— Makro

@Macro: Masz rację:

nie jest konieczne w modelu. Dzięki za zwrócenie na to uwagi! Dziwnie nie narzeka na taką redundancję.

δ_{0 i}

$δ_{0i}$ lme

— bluepole

Czy nadal pracujesz z tym nadparametryzowanym modelem (ta część pytania nie została edytowana)?

— Makro

Do ujednoliconego modelu można uwzględnić bliźnięta i osoby niebędące bliźniakami, używając zmiennej fikcyjnej i włączając losowe nachylenia w tej zmiennej fikcyjnej. Ponieważ wszystkie rodziny mają co najwyżej jeden zestaw bliźniaków, będzie to stosunkowo proste:

Niech jeśli rodzeństwo w rodzinie $A_{ij} = 1$ $j$ $i$ $\eta_{i3}$

Następnie dopasuj model:

y_{i j} = α_{0} + α_{1} x_{i j} + η_{i 0} + η_{i 1} A_{i j} + η_{i 2} x_{i j} + η_{i 3} x_{i j} A_{i j} + ε_{i j}

$y_{ij} = \alpha_{0} + \alpha_{1} x_{ij} + \eta_{i0} + \eta_{i1} A_{ij} + \eta_{i2} x_{ij} + \eta_{i3} x_{ij} A_{ij} + \varepsilon_{ij}$

$\alpha_{0}, \alpha_{1}$
$\eta_{i0}$ $\eta_{i1}$ $A_{ij}=1$
$\eta_{i2}$ $\eta_{i3}$ $x_{ij}$
$\varepsilon_{ij}$

Możesz dopasować model za pomocą R pakietu lme4. W kodzie poniżej zmienna zależna to: yzmienna Afikcyjna to predyktor to xiloczyn zmiennej fikcyjnej, a predyktorem jest Axi famIDjest numerem identyfikacyjnym rodziny. Zakłada się, że twoje dane są przechowywane w ramce danych D, z tymi zmiennymi jak kolumnami.

library(lme4) 
g <- lmer(y ~ x + (1+A+x+Ax|famID), data=D)

Zmienne losowe i oszacowane efekty stałe można wyświetlić, wpisując summary(g). Zauważ, że ten model pozwala na swobodną korelację między losowymi efektami.

W wielu przypadkach bardziej sensowne (lub łatwiejsze do zinterpretowania) może być założenie, że zakłada się niezależność między efektami losowymi (np. Często przyjmuje się założenie, że rozkłada korelację genetyczną i środowiskową w rodzinie), w którym to przypadku należy wpisać

g <- lmer(y ~ x + (1|famID) + (A-1|famID) + (x-1|famID) +(Ax-1|famID), data=D)

— Makro
źródło

To naprawdę fajne rozwiązanie i podoba mi się! Wypróbuję to wkrótce i zobaczymy, jak to się skończy ... Wielkie dzięki!

— bluepole

Nie ma za co. Jeśli uznasz, że to rozwiązanie jest pomocne, rozważ zaakceptowanie odpowiedzi :)

— Makro

Dwa zagadnienia: 1) Ponieważ większość badanych to bliźnięta dizygotyczne, twoje podejście wydaje się nie modelować korelacji między parą bliźniaków DZ. 2) Tylko 4 rodziny mają dodatkowe rodzeństwo. Martwię się, że trudno byłoby oszacować losowe skutki dla rodzeństwa na podstawie tylko tych 4 rodzin. Ponieważ różnica między parą bliźniaków DZ a innym rodzeństwem jest stosunkowo niewielka (głównie środowiskowa, a nie genetyczna), być może mogę po prostu zignorować subtelną różnicę między bliźniakiem a rodzeństwem i potraktować te kilka rodzeństwa jako bliźniaki z przypadkowymi efektami, jak w twoim modelu lub ze skorelowanymi resztami jak w moim OP.

— bluepole

\frac{σ_{0}^{2} + σ_{1}^{2}}{σ_{0}^{2} + σ_{1}^{2} + σ_{ε}^{2}}

$\frac{ \sigma_{0}^{2} + \sigma_{1}^{2} }{ \sigma_{0}^{2} + \sigma_{1}^{2} + \sigma^{2}_{\varepsilon}}$

σ_{0}^{2}, σ_{1}^{2}

$\sigma_{0}^{2}, \sigma_{1}^{2}$

η_{i 0}, η_{i 1}

$\eta_{i0}, \eta_{i1}$

σ_{ε}^{2}

$\sigma^{2}_{\varepsilon}$

η_{i 0}

$\eta_{i0}$

η_{i 2}

$\eta_{i2}$