Nie rozumiem wariancji dwumianu

Czuję się naprawdę głupio, nawet zadając tak podstawowe pytanie, ale oto:

Jeśli mam losową zmienną która może przyjmować wartości i , przy czym oraz , to jeśli wyciągnę z niej próbek, otrzymam rozkład dwumianowy. $X$ $0$ $1$ $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ $n$

Średnia rozkładu wynosi

$\mu = np = E(X)$

Wariancja rozkładu jest

$\sigma^2 = np(1-p)$

Tutaj zaczynają się moje problemy:

Wariancja jest zdefiniowana przez . Ponieważ kwadrat dwóch możliwych wyników niczego nie zmienia ( i ), to oznacza , więc oznacza $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Gdzie idzie dodatkowe ? Jak zapewne możesz powiedzieć, nie jestem zbyt dobry w statystykach, więc nie używaj skomplikowanej terminologii: s $n$

variance binomial

— dain
źródło

Jeśli i są one niezależne, to . Ale jeszcze łatwiejszą drogą jest więc więc z niezależnością

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

Odpowiedzi:

Zmienna losowa przyjmująca wartości i z prawdopodobieństwem oraz nazywana jest zmienną losową Bernoulliego z parametrem . Ta losowa zmienna ma Załóżmy, że masz losową próbkę o rozmiarze z i zdefiniuj nową losową zmienną , wówczas rozkład nazywa się dwumianowy, którego parametry to $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$ i . Średnia i wariancja losowej zmiennej dwumianowej Y jest wyrażona przez

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
źródło

Jak to odpowiada na pytanie: „Gdzie idzie dodatkowe n?”?

— ameba mówi Przywróć Monikę

@amoeba Dziękuję bardzo za komentarz. Ponieważ OP nie mógł rozróżnić zmiennych losowych Bernoulliego i Binomiala, pomyślałem o przypomnieniu mu niezbędnych definicji i procesie uzyskiwania wymaganych wyrażeń.

— LVRao

Po prostu mówię, że twoja odpowiedź poprawiłaby się (moim zdaniem), gdybyś wyraźnie wskazał błąd w rozumowaniu OP. Twoja odpowiedź wyprowadza prawidłowe formuły, ale nie pokazuje, gdzie OP poszło źle.

— ameba mówi Przywróć Monikę

@amoeba True. Udzielanie wskazówek i poprawianie ich również pomaga czasem.

— LVRao

Dwa błędy w procesie sprawdzania:

1: w pierwszym akapicie ma inną definicję niż w pozostałej części artykułu. $X$ $X$

2: Pod warunkiem, że ~ , . Spróbuj pracować z $X$ $Bin(p, n)$ $E(X^2) \ne E(X)$ $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— użytkownik158565
źródło

Jeśli podoba ci się krwawienie oczu, przepisałem wiele notatek ze szkoły. Ten konkretny link pokazuje wyprowadzenie E (X) i E (X ^ 2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/...

— Benjamin