Suma wykładniczych zmiennych losowych podąża za gamma, mylona parametrami

Nauczyłem się, że suma wykładniczych zmiennych losowych wynika z rozkładu gamma.

Ale wszędzie, gdzie czytam, parametryzacja jest inna. Na przykład Wiki opisuje związek, ale nie mówi, co tak naprawdę oznaczają jego parametry? Kształt, skala, stawka, 1 / stawka?

Rozkład wykładniczy: ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Rozkład gamma: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

W tym ustawieniu, czym jest ? Jaka byłaby poprawna parametryzacja? Co powiesz na rozszerzenie tego na chi-kwadrat? $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— edwin
źródło

Jako ogólną i gotową zasadę probabiliści używają

do oznaczenia rozkładu gamma ze średnią

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

(to znaczy

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

podczas gdy statystycy używają

do oznaczenia zmiennej losowej Gamma ze średnią

nie

sposób w jaki to masz. Wikipediaopisuje obie konwencje.

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate

przepraszam, masz rację.

— edwin

Dwie wskazówki: 1. pamiętaj, aby sprawdzić spójność wymiarową. (np. czy parametr ma taką samą wymiarowość

, czy jego odwrotność ...?) 2. ponieważ tutaj parametr gamma jest liczbą całkowitą, może być nieco łatwiej użyć zwykłych silni i rozkładu Erlanga ( oczywiście, to samo)

x

$x$

— leonbloy

@edwin Edytuj więc swoje pytanie, aby poprawić wyrażenia dotyczące średniej i wariancji.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate edytowane!

— edwin

Odpowiedzi:

$n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
źródło

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

lol, to tylko rujnuje niewinne dusze, które chcą studiować ten temat. Osobiście uważam, że jest to po prostu kiepsko napisane przez autora, jednocześnie zgadzam się, że muszę dostosować umiejętność dostrzegania niewłaściwych rzeczy. Ale nadal nie, kiedy robię kroki dziecka.

— edwin

No cóż, jako autor odpowiedzi na inne pytanie, jestem rozczarowany, że uważasz, że ta odpowiedź jest źle napisana. Sugestie dotyczące ulepszenia są mile widziane.

— Dilip Sarwate,

Nie odnoszę się do twojego linku.

— edwin,

$n$ iid rozkłady wykładnicze ze skalą $\theta$ (oceniać $\theta^{-1}$ ) is gamma-distributed with shape $n$ and scale $\theta$ (rate $\theta^{-1}$ ).

— Neil G
źródło

gamma distribution is made of exponential distribution that is exponential distribution is base for gamma distribution. then if $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ we have $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ , as long as all $X_i$ are independent.

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
źródło

I formatted the maths part of your answer. Please check if this is still what you wanted to express.

— Andy

Your assertion

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ is incorrect unless you qualify it by insisting that the

x_{i}

$x_i$ are independent random variables.

— Dilip Sarwate