Jak pobrać pochodną wielowymiarowej gęstości normalnej?

Powiedzmy, że mam wielowymiarową normalną gęstość . Chcę uzyskać drugą (częściową) pochodną wrt . Nie wiem, jak pobrać pochodną macierzy. $N(\mu, \Sigma)$ $\mu$

Wiki mówi, że weź pochodną element po elemencie do matrycy.

Pracuję z aproksymacją Laplace'a Tryb to .

\log P_{N} (θ) = \log P_{N} - \frac{1}{2} {(θ - \hat{θ})}^{T} Σ^{- 1} (θ - \hat{θ}) .

$\log{P}_{N}(\theta)=\log {P}_{N}-\frac{1}{2}{(\theta-\hat{\theta})}^{T}{\Sigma}^{-1}(\theta-\hat{\theta}) \>.$

\hat{θ} = μ

$\hat\theta=\mu$

Dostałem jak do tego doszło?

Σ^{- 1} = - \frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \log p (\hat{θ} | y),

${\Sigma}^{-1}=-\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{\theta }^{2}}}\log p(\hat{\theta }|y),$

Co zrobiłem:

\log P (θ | y) = - \frac{k}{2} \log 2 π - \frac{1}{2} \log | Σ | - \frac{1}{2} {(θ - \hat{θ})}^{T} Σ^{- 1} (θ - \hat{θ})

$\log P(\theta|y) = -\frac{k}{2} \log 2 \pi - \frac{1}{2} \log \left| \Sigma \right| - \frac{1}{2} {(\theta-\hat \theta)}^{T}{\Sigma}^{-1}(\theta-\hat\theta)$

Więc biorę pochodną wrt do , po pierwsze, jest transpozycja, po drugie, jest to macierz. Więc utknąłem. $\theta$

Uwaga: jeśli mój profesor się z tym spotka, mam na myśli wykład.

self-study normal-distribution matrix

— użytkownik1061210
źródło

częścią problemu może być to, że wyrażenie prawdopodobieństwa dziennika zawiera błąd - maszgdzie powinieneś mieć . Czy przez przypadek miałeś na myśli ?

| Σ |

$|\Sigma|$

\log (| Σ |)

$\log(|\Sigma|)$

Σ^{- 1} = - \frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \log p (θ | y)

${\Sigma}^{-1}=-\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{\theta }^{2}}}\log p(\theta|y)$

— Makro

Tak, masz rację, przepraszam. Dlaczego przed częściową pochodną jest znak ujemny?

— user1061210

Właśnie wyjaśniałem znak ujemny, ponieważ ujemną drugą pochodną jest obserwowana informacja o rybaku, która zwykle jest interesująca. Ponadto, według moich własnych obliczeń, stwierdzam, że

\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \log p (θ | y) = - Σ^{- 1}

$\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{\theta }^{2}}}\log p(\theta|y) = -\Sigma^{-1}$

— Makro

Więc jaka jest ogólna procedura dla funkcji dyskretnej / ciągłej? Weź dziennik, napisz w formie rozszerzenia Taylora, różnicuj dwa razy wrt . Informacje Fishera ogólnie nie są prawdziwe w przypadku większości innych gęstości, prawda?

θ

$\theta$

— użytkownik1061210

@ użytkownik Jak wskazałem, druga pochodna logarytmu musi mieć nie dodatnie wartości własne. Tak, istnieją powiązania między wariancjami a ujemnymi drugimi pochodnymi cząstkowymi, jak pokazuje teoria szacowania maksymalnego prawdopodobieństwa, informacje Fishera itp. - Makro wspomniał o tym wcześniej w tych komentarzach.

— whuber

Odpowiedzi:

W rozdziale 2 Matrix Cookbook znajduje się niezły przegląd rachunku macierzy, który daje wiele przydatnych tożsamości, które pomagają w rozwiązywaniu problemów związanych z prawdopodobieństwem i statystykami, w tym regułami, które pomagają rozróżnić wielowymiarowe prawdopodobieństwo Gaussa.

Jeśli masz losowy wektor który jest wielowymiarowy normalny ze średnim wektorem i macierzą kowariancji , użyj równania (86) w książce kucharskiej macierzy, aby ustalić, że gradient prawdopodobieństwo dziennika w odniesieniu do wynosi ${\boldsymbol y}$ ${\boldsymbol \mu}$ ${\boldsymbol \Sigma}$ ${\bf L}$ ${\boldsymbol \mu}$

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial μ} & = - \frac{1}{2} (\frac{\partial {(y - μ)}^{'} Σ^{- 1} (y - μ)}{\partial μ}) \\ = - \frac{1}{2} (- 2 Σ^{- 1} (y - μ)) \\ = Σ^{- 1} (y - μ) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \mu}} &= -\frac{1}{2} \left( \frac{\partial \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right) }{\partial {\boldsymbol \mu}} \right) \nonumber \\ &= -\frac{1}{2} \left( -2 {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right) \right) \nonumber \\ &= {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \end{align}$

Pozostawiam tobie, abyś to ponownie rozróżniał i znalazł odpowiedź na: . $-{\boldsymbol \Sigma}^{-1}$

Jako „dodatkowy kredyt” użyj równań (57) i (61), aby stwierdzić, że gradient względem wynosi ${\boldsymbol \Sigma}$

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial Σ} & = - \frac{1}{2} (\frac{\partial \log (| Σ |)}{\partial Σ} + \frac{\partial {(y - μ)}^{'} Σ^{- 1} (y - μ)}{\partial Σ}) \\ = - \frac{1}{2} (Σ^{- 1} - Σ^{- 1} (y - μ) {(y - μ)}^{'} Σ^{- 1}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \Sigma}} &= -\frac{1}{2} \left( \frac{ \partial \log(|{\boldsymbol \Sigma}|)}{\partial{\boldsymbol \Sigma}} + \frac{\partial \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu}\right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y}- {\boldsymbol \mu}\right) }{\partial {\boldsymbol \Sigma}} \right)\\ &= -\frac{1}{2} \left( {\boldsymbol \Sigma}^{-1} - {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \right) \end{align}$

Pominąłem wiele kroków, ale wykonałem to wyprowadzenie, używając tylko tożsamości znalezionych w macierzowej książce kucharskiej, więc zostawię to tobie, aby wypełnić luki.

Użyłem tych równań punktowych do oszacowania maksymalnego prawdopodobieństwa, więc wiem, że są poprawne :)

— Makro
źródło

Świetne referencje - sam go polecę. Nie jest to dobre odniesienie pedagogiczne dla kogoś, kto nie zna algebry macierzy. Prawdziwe wyzwanie wiąże się z faktycznym opracowaniem . Prawdziwy ból.

Σ

$\Sigma$

— probabilislogiczny

Innym dobrym źródłem na rachunku macierzowym jest Magnus i Neudecker, amazon.com/…

— StasK

Numer referencyjny równania został zmieniony (być może z powodu nowej edycji). Nowe równanie referencyjne to 86.

— Goelakash

Mógłbym tu być poza bazą, ale nie sądzę, aby ta formuła była poprawna. Używam tego z prawdziwymi przykładami i przyglądam się ich skończonym różnicom. Wygląda na to, że formuła dla podaje poprawne wartości dla wpisów po przekątnej. Jednak wpisy o przekątnej stanowią połowę tego, czym powinny być.

\frac{\partial L}{\partial Σ}

$\frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \Sigma}}$

— jjet

Musisz upewnić się, że odpowiednio zajmujesz się powtarzającymi się elementami w , w przeciwnym razie twoje pochodne będą niepoprawne. Na przykład (141) Matrix Cookbook podaje dla symetrycznego następujące pochodne $\mathbf{\Sigma}$ $\mathbf{\Sigma}$

\begin{aligned} \frac{\partial \log | Σ |}{\partial Σ} & = 2 Σ^{- 1} - (Σ^{- 1} \circ I) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial \log|\mathbf{\Sigma}|}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=2\mathbf{\Sigma}^{-1}-(\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) \end{align}$

I (14) Zróżnicowanie funkcji macierzy kowariancji daje

\begin{aligned} \frac{\partial trace (Σ^{- 1} x x^{⊤})}{\partial Σ} & = - 2 Σ^{- 1} x x^{⊤} Σ^{- 1} + (Σ^{- 1} x x^{⊤} Σ^{- 1} \circ I) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial \textrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top)}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=-2\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}+(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) \end{align}$

gdzie oznacza produkt Hadmarda i dla wygody zdefiniowaliśmy . $\circ$ $\mathbf{x}:=\mathbf{y}-\mathbf{\mu}$

Zwróć uwagę, że nie jest to to samo, co gdy nie jest narzucona symetryczność . W rezultacie mamy to $\mathbf{\Sigma}$

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial Σ} & = - \frac{\partial}{\partial Σ} \frac{1}{2} (D \log | 2 π | + \log | Σ | + x^{⊤} Σ^{- 1} x)) \\ = - \frac{\partial}{\partial Σ} \frac{1}{2} (\log | Σ | + trace (Σ^{- 1} x x^{⊤})) \\ = - \frac{1}{2} (2 Σ^{- 1} - (Σ^{- 1} \circ I) - 2 Σ^{- 1} x x^{⊤} Σ^{- 1} + (Σ^{- 1} x x^{⊤} Σ^{- 1} \circ I)) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}}&=-\frac{\partial }{\partial \mathbf{\Sigma}}\frac{1}{2}\left(D\log|2\pi|+ \log|\mathbf{\Sigma}| + \mathbf{x}^{\top}\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x})\right)\\ &=-\frac{\partial }{\partial \mathbf{\Sigma}}\frac{1}{2}\left( \log|\mathbf{\Sigma}| + \textrm{trace}(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\left( 2\mathbf{\Sigma}^{-1}-(\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I) -2\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}+(\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\mathbf{x}^\top\mathbf{\Sigma}^{-1}\circ I)\right) \end{align}$

gdzie oznacza wymiar , i oraz pochodnąwynosi 0 $D$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $\mathbf{\mu}$ $D\log|2\pi|$

Zapewnia to, że element elementu odpowiada . $i,j^{th}$ $\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}}$ $\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial \mathbf{\Sigma}_{ij}}$

— Lawrence Middleton
źródło

Próbowałem komputerowo zweryfikować odpowiedź @ Macro, ale znalazłem drobny błąd w rozwiązaniu kowariancji. Uzyskał Jednak wydaje się, że poprawne rozwiązanie to w rzeczywistości Poniższy skrypt R stanowi prosty przykład, w którym różnicę skończoną oblicza się dla każdego elementu . To pokazuje, że

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial Σ} & = - \frac{1}{2} (Σ^{- 1} - Σ^{- 1} (y - μ) {(y - μ)}^{'} Σ^{- 1}) = A \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ \partial {\bf L} }{ \partial {\boldsymbol \Sigma}} &= -\frac{1}{2} \left( {\boldsymbol \Sigma}^{-1} - {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right) \left( {\boldsymbol y} - {\boldsymbol \mu} \right)' {\boldsymbol \Sigma}^{-1} \right) ={\bf A} \end{align}$

B = 2 A - diag (A)

${\bf B}=2{\bf A} - \text{diag}({\bf A})$

Σ

${\boldsymbol \Sigma}$

A

${\bf A}$ zapewnia poprawną odpowiedź tylko dla elementów ukośnych, podczas gdy jest poprawny dla każdego wpisu.

B

${\bf B}$

library(mvtnorm)

set.seed(1)

# Generate some parameters
p <- 4
mu <- rnorm(p)
Sigma <- rWishart(1, p, diag(p))[, , 1]

# Generate an observation from the distribution as a reference point
x <- rmvnorm(1, mu, Sigma)[1, ]

# Calculate the density at x
f <- dmvnorm(x, mu, Sigma)

# Choose a sufficiently small step-size
h <- .00001

# Calculate the density at x at each shifted Sigma_ij
f.shift <- matrix(NA, p, p)
for(i in 1:p) {
  for(j in 1:p) {
    zero.one.mat <- matrix(0, p, p)
    zero.one.mat[i, j] <- 1
    zero.one.mat[j, i] <- 1

    Sigma.shift <- Sigma + h * zero.one.mat
    f.shift[i, j] <- dmvnorm(x, mu, Sigma.shift)
  }
}

# Caluclate the finite difference at each shifted Sigma_ij
fin.diff <- (f.shift - f) / h

# Calculate the solution proposed by @Macro and the true solution
A <- -1/2 * (solve(Sigma) - solve(Sigma) %*% (x - mu) %*% t(x - mu) %*% solve(Sigma))
B <- 2 * A - diag(diag(A))

# Verify that the true solution is approximately equal to the finite difference
fin.diff
A * f
B * f

— jjet
źródło

Dziękuję za Twój komentarz. Sądzę, że interpretujesz notację inaczej niż wszyscy inni, ponieważ jednocześnie zmieniasz pary pasujących elementów o przekątnej , podwajając w ten sposób efekt zmiany. W efekcie obliczasz wielokrotność pochodnej kierunkowej. Wydaje się, że istnieje mały problem z rozwiązaniem Macro, o ile należy podjąć transpozycję - ale to nie zmieni niczego w aplikacji na matryce symetryczne.

Σ

$\Sigma$

— whuber