Dwa rzuty kostkami - ta sama liczba w sekwencji

Obecnie studiuję klasę wnioskowania statystycznego na Coursera. W jednym z zadań pojawia się następujące pytanie.

| Suppose you rolled the fair die twice. 
    What is the probability of rolling the same number two times in a row?

1: 2/6
2: 1/36
3: 0
4: 1/6

Selection: 2

| You're close...I can feel it! Try it again.

| Since we don't care what the outcome of the first roll is, its probability is 1. 
    The second roll of the dice has to match the outcome of the first, 
    so that has a probability  of 1/6. The probability of both events occurring is 1 * 1/6.

Nie rozumiem tego trochę. Rozumiem, że dwa rzuty kostkami są niezależnymi zdarzeniami i ich prawdopodobieństwa można pomnożyć, więc wynik powinien wynosić 1/36.

Czy możesz wyjaśnić, dlaczego się mylę?

Prawdopodobieństwo wyrzucenia określonej liczby dwa razy z rzędu wynosi faktycznie 1/36, ponieważ masz 1/6 szansy na uzyskanie tej liczby na każdym z dwóch rzutów (1/6 x 1/6).

Prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej liczby dwa razy z rzędu wynosi 1/6, ponieważ istnieje sześć sposobów na wyrzucenie określonej liczby dwa razy z rzędu (6 x 1/36). Innym sposobem myślenia o tym jest to, że nie obchodzi cię, jaki jest pierwszy numer, wystarczy drugi numer, aby go dopasować (z prawdopodobieństwem 1/6).

Aby było idealnie jasne, rozważ przestrzeń próbki do dwukrotnego rzutu kostką.

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Istnieje 36 równie prawdopodobnych wyników, z których 6 definiuje zdarzenie „rzucając tę ​​samą liczbę dwa razy z rzędu”. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia wynosi , co jest równe .$\frac{6}{36}$$\frac{1}{6}$

Koncepcyjnie jest to tylko pytanie „jakie są szanse, że druga kość pasuje do wyniku pierwszej”. Załóżmy, że potajemnie rzuciłem kostką i poprosiłem cię o dopasowanie wyniku do własnego rzutu.

Bez względu na to, jaką liczbę rzuciłem, istnieje szansa 1/6, że twoja kość pasuje do mojego rzutu, ponieważ istnieje 1/6 szansa, że ​​każdy rzut kostką trafi dowolną określoną liczbę.

Jeśli rzucisz 1, to przy drugim rzucie (dla rzetelnej kostki 6-stronnej) prawdopodobieństwo, że drugi rzut to 1, wynosi 1/6 (przy założeniu niezależności. Byłoby to prawdą dla każdego innego możliwego pierwszego rzutu.

Mam nadzieję że to pomoże :

Prawdopodobieństwo pojawienia się pierwszego rzutu jako 1: 1/6 Prawdopodobieństwo drugiego rzutu również jako 1: 1/6

Dlatego prawdopodobieństwo, że pierwsze dwa rzuty pojawią się jako 1, wynosi (1/6 * 1/6) = 1/36

Teraz prawdopodobieństwo, że pierwsze dwa rzuty pojawią się jako 2, wynosi (1/6 * 1/6) = 1/36. . . . To samo dotyczy 3,4,5,6

Zatem prawdopodobieństwo, że dowolna liczba pojawi się dwa razy po sobie, wynosi (1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36) = (6/36) = 1/6

spojrzałbym na to jako na problem kombinacji. gdzie zostaniesz zapytany, jakie są możliwe kombinacje, które mają takie same liczby przy pierwszym i drugim rzucie. kombinacje to 6 (11,22,33,44,55,66) z całkowitych możliwości 6 * 6 = 36, więc prawdopodobieństwo wynosi 6/36

Ponieważ nie widziałem tego dokładnego sposobu kadrowania go powyżej:

Do pierwszego rzutu jest 6 możliwych odpowiedzi i 6 akceptowalnych odpowiedzi (jakakolwiek liczba 1-6 jest dopuszczalna).

6/6

Dla drugiego rzutu jest 6 możliwych odpowiedzi, ale teraz tylko 1 pasuje do pierwszego rzutu.

1/6

6/6 * 1/6 = 1/6