Konsekwencje nierówności korelacji Gaussa dla obliczania wspólnych przedziałów ufności

Zgodnie z tym bardzo interesującym artykułem w magazynie Quanta: „Długo poszukiwany dowód, znaleziony i prawie zagubiony” - udowodniono, że biorąc pod uwagę wektor posiadający wielowymiarowy Rozkład Gaussa i podane przedziały wyśrodkowane wokół średnich odpowiednich składników , a następnie $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in I_{1}, \dots, x_{n} \in I_{n}) \geq \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i} \in I_{i})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

(Nierówność korelacji gaussowskiej lub GCI; bardziej ogólne sformułowanie znajduje się na https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf ).

Wydaje się to naprawdę miłe i proste, a artykuł mówi, że ma to wpływ na wspólne przedziały ufności. Wydaje mi się jednak dość bezużyteczne pod tym względem. Załóżmy, że szacujemy parametry i znaleźliśmy estymatory które są (być może asymptotycznie) wspólnie normalne (na przykład estymator MLE) . Następnie, jeśli obliczę przedziały ufności 95% dla każdego parametru, GCI gwarantuje, że hipersześcian jest wspólnym obszarem ufności o zasięgu nie mniejszym niż ... co jest dość niskim zasięgiem nawet dla umiarkowanych . $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ $(0.95)^n$ $n$

Dlatego nie wydaje się mądrym sposobem na znalezienie wspólnych obszarów pewności: zwykły region pewności dla wielowymiarowego Gaussa, tj. Hipereliplipoid, nie jest trudny do znalezienia, jeśli macierz kowariancji jest znana i jest ostrzejsza. Może przydałoby się znaleźć regiony pewności, gdy macierz kowariancji jest nieznana? Czy możesz mi pokazać przykład znaczenia GCI dla obliczania wspólnych regionów zaufania?

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
źródło

Masz dobry pomysł. Poszczególne przedziały ufności muszą być znacznie wyższe niż 95%, aby wspólny region osiągnął 95%. Każdy musi być podniesiony co najmniej o 0,95 do 1 / nej potęgi.

— Michael R. Chernick

Mała, ale ważna poprawka: wszystkie przedziały muszą być wyśrodkowane wokół zera, tj. .

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

— Alex R.

@amoeba Nie martwię się o trudność dowodu, ale o jego znaczenie dla stosowanych statystyk. Jeśli rozważenie hiperprostokąta ułatwia pokazanie takiego znaczenia, dobrze. Jeśli zamiast tego uważasz, że ta nierówność stanie się przydatna w praktyce tylko wtedy, gdy weźmie się pod uwagę dowolny wielokąt, wystarczy. Zaakceptuję odpowiedź, która mówi „jeśli weźmiesz pod uwagę tylko hiperprostokąty, GCI nie jest bardzo przydatnym narzędziem dla stosowanego statystyki, ponieważ ... Ale jeśli weźmiesz pod uwagę dowolne wielokąty, to staje się to istotne, ponieważ ...”

— DeltaIV

Chciałem edytować i przejrzałem dokumenty z dowodami, ale teraz nie jestem już w 100% pewien, czy hiperprostokąt jest specjalnym / łatwym przypadkiem lub równoważnym sformułowaniem. Zostawię to na razie i może wrócę tu później.

— ameba mówi Przywróć Monikę

hiperprostokąty wyśrodkowane na początku (gdzie z wyśrodkowanym na początku mam na myśli to, że każdy interwał 1D, którego iloczyn kartezjański definiuje hiperprostokąt, jest symetryczny względem początku) są zdecydowanie co najmniej szczególnym przypadkiem (nie mam pojęcia, czy są one przypadek równoważny). Według artykułu arXiv nierówność dotyczy wszystkich symetrycznych zbiorów wypukłych. Hiperprostokąt jest zbiorem wypukłym, a jeśli jest wyśrodkowany na początku w sensie zdefiniowanym powyżej, to jest symetryczny, tj. .

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

— DeltaIV

Myślę, że to pytanie ma większe znaczenie. W pewnym sensie patrzysz na testowanie wielu hipotez i porównujesz je z uruchomieniem wielu testów hipotez.

Tak, rzeczywiście istnieje dolna granica, która jest iloczynem wartości p testów zakładających niezależność. Jest to podstawa korekt wartości p w testach wielotematycznych, takich jak korekty Bonferroniego lub Holma. Ale korekty Bonferroniego i Holma (zakładając niezależność) są szczególnie testami niskiej mocy.

W praktyce można zrobić znacznie więcej (i odbywa się to za pomocą Bootstrap, patrz na przykład H White's Bootstrap Reality Check, artykuły Romano-Wolfa i nowszy zestaw artykułów na temat Modelowych zestawów zaufania). Każda z nich jest próbą testu hipotezy o wyższej mocy (np. Przy użyciu oszacowanej korelacji, aby uzyskać lepsze wyniki niż zwykłe użycie tej dolnej granicy), a w konsekwencji znacznie bardziej istotna.

— NBF
źródło